原题链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P1516
题意解读：长L的环形数轴，初始A在x坐标、一次跳m米，B在y坐标、一次跳n米，问最少跳几次AB相遇。
解题思路：
1、欧几里得算法
欧几里得算法（Euclidean Algorithm），又称辗转相除法，是数学中用于求解两个正整数最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD） 的经典算法。其核心优势在于通过 “不断用较大数除以较小数，替换原数对为‘除数’和‘余数’” 的迭代过程，快速缩小数值规模，最终得到最大公约数。
欧几里得算法的可用递归描述为：对任意非负整数a和任意整数b，gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)
证明：
设d|a且d|b，设a = bq + r，r = a mod b，r = a - bq则有d|r，即d | a mod b，因此a、b的约数也是b、a mod b的约数；
设d|b且d|a mod b，由a = bq + a mod b则有d|a，因此b、a mod b的约数也是a、b的约数；
综上，a，b和b，a mod b的约数相同，则最大公约数也一样，因此gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)
代码：
int gcd(int a, int b)
{return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}2、扩展欧几里得算法
扩展欧几里得算法（Extended Euclidean Algorithm）是欧几里得算法（辗转相除法）的延伸，其核心价值不仅在于计算两个整数的最大公约数（gcd），更在于能找到满足裴蜀定理的一组整数解 —— 即对任意整数 a、b，存在整数 x、y 使得 ax + by = gcd(a, b)。
其过程为：
设𝑎𝑥1 +𝑏𝑦1 = gcd(𝑎,𝑏)
，𝑏𝑥2 +(𝑎 mod 𝑏)𝑦2 = gcd(𝑏,𝑎 mod 𝑏)
由欧几里得定理可知：gcd(𝑎,𝑏) = gcd(𝑏,𝑎 mod 𝑏)
所以 𝑎𝑥1 +𝑏𝑦1 = 𝑏𝑥2 + (𝑎 mod 𝑏)𝑦2
又因为 𝑎 mod 𝑏 = 𝑎 − (⌊𝑎/𝑏⌋ ×𝑏)
所以 𝑎𝑥1 +𝑏𝑦1 = 𝑏𝑥2 +(𝑎 −(⌊𝑎/𝑏⌋ × 𝑏))𝑦2
𝑎𝑥1 +𝑏𝑦1 = 𝑎𝑦2 +𝑏𝑥2 −⌊𝑎/𝑏⌋ × 𝑏𝑦2 =𝑎𝑦2 + 𝑏(𝑥2 −⌊𝑎/𝑏⌋𝑦2)
所以 𝑥1 =𝑦2, 𝑦1 = 𝑥2 −⌊𝑎/𝑏⌋𝑦2
在递归过程中，x1，y1是上一层的x、y，x2、y2是下一层的x、y，当a mod b ==0时，此时的b即最大公约数，那么bx+0y=b，因此x=1 y=0是递归出口。
代码：
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{if(b == 0){x = 1;y = 0;return a;}int d = exgcd(b, a % b, y, x); //递归时上一层的x1=下一层的y2，上一层的y1 = 下一层的x2y -= a / b * x; //此时x1是下一层的y2，y1是下一层的x2，这句话的意思就是y1 = x2 - a / b * y2return d;
}3、二元一次不定方程的通解
对于a、b是正整数，ax + by = c有解的条件是d | c，其中d = gcd(a, b)，通过扩展欧几里得算法可以求得ax + by = d的解，设为x0,y0
那么ax + bx = c一个特解就是x1 = x0 * c / d, y1 = y0 * c / d
设k为任意整数，则ax + bx = c的通解可以表示为：x = x1 + (b / d) * k，y = y1 - (a / d) * k
要解x的最小正整数解，用(x1 % (b/d) + (b/d)) % (b/d)即可。
3、问题分析
经过时间t之后，A所在的位置变成(mt + x) % L，B所在位置变成(nt + y) % L
A、B要相遇，必须满足(mt + x) % L = (nt + y) % L，用同余表示即mt + x ≡ nt + y (mod L)，
令设整数s，有mt + x + Ls = nt + y
进而(m - n)t + Ls = y - x
另a = |m - n|, b = L, c = (m > n ? 1 : -1) * (y - x)
求方程at + bs = c中t的最小正整数解即可
扩展欧几里得算法即可解决。
100分代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long LL;
LL x, y, m, n, L;LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{if(b == 0){x = 1, y = 0;return a;}LL d = exgcd(b, a % b, y, x);y -= a / b * x;return d;
}int main()
{cin >> x >> y >> m >> n >> L;LL a = abs(m - n), b = L, c = (m > n ? 1 : -1) * (y - x);LL s, t;LL d = exgcd(a, b, t, s);if(c % d){cout << "Impossible";return 0;}t *= (c / d);cout << (t % (b / d) + (b / d)) % (b / d);return 0;
}
