最小生成树MST-07

最小生成树MST-07 - jack

news/2025/9/20 16:50:15/文章来源:https://www.cnblogs.com/cavalier-chen/p/19102592

概念
Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法）
Prim算法（普里姆算法）
比较
MST应用场景
MST与最短距离
MST与 TSP

参考链接
https://cloud.tencent.com/developer/article/1480529

概念

最小生成树MST
应该叫最小总间距树 Mininum Spanning Tree

最小生成树（MST，Minimum Spanning Tree）是图论中的经典问题。让我详细为你讲解MST的概念和两种经典算法。
什么是最小生成树？
最小生成树是连通加权无向图中一棵权重和最小的生成树。它具有以下特点：

包含图中所有顶点
是一棵树（n个顶点，n-1条边，无环）
所有边的权重和最小

Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法）

思想：贪心策略，按边权从小到大排序，依次加入不形成环的边。
步骤：
将所有边按权重从小到大排序
初始化并查集，每个顶点为一个独立的集合
遍历排序后的边，如果边连接的两个顶点不在同一集合中，则加入MST
重复直到MST包含n-1条边

class UnionFind:"""并查集数据结构"""def __init__(self, n):self.parent = list(range(n))self.rank = [0] * ndef find(self, x):"""查找根节点（路径压缩优化）"""if self.parent[x] != x:self.parent[x] = self.find(self.parent[x])return self.parent[x]def union(self, x, y):"""合并两个集合（按秩合并优化）"""px, py = self.find(x), self.find(y)if px == py:return Falseif self.rank[px] < self.rank[py]:px, py = py, pxself.parent[py] = pxif self.rank[px] == self.rank[py]:self.rank[px] += 1return Truedef kruskal_mst(n, edges):"""Kruskal算法求最小生成树参数:n: 顶点数量edges: 边的列表，每条边格式为 (权重, 顶点1, 顶点2)返回:(mst_edges, total_weight): MST的边列表和总权重"""# 按权重排序所有边edges.sort()uf = UnionFind(n)mst_edges = []total_weight = 0for weight, u, v in edges:# 如果u和v不在同一连通分量中，加入这条边if uf.union(u, v):mst_edges.append((u, v, weight))total_weight += weight# MST包含n-1条边时完成if len(mst_edges) == n - 1:breakreturn mst_edges, total_weight# 示例使用
if __name__ == "__main__":# 图的表示：顶点编号0到5，边格式为(权重, 起点, 终点)n = 6edges = [(4, 0, 1), (6, 0, 2), (6, 0, 3),(2, 1, 2), (5, 1, 4),(1, 2, 3), (5, 2, 4), (3, 2, 5),(4, 3, 5),(6, 4, 5)]mst_edges, total_weight = kruskal_mst(n, edges)print("Kruskal算法结果：")print("MST边：", mst_edges)print("总权重：", total_weight)# 可视化MSTprint("\nMST边详情：")for u, v, w in mst_edges:print(f"顶点 {u} -- 顶点 {v}：权重 {w}")

Prim算法（普里姆算法）

思想：从某个顶点开始，逐步扩展MST，每次选择连接MST和非MST顶点的最小权重边。
步骤：

选择起始顶点加入MST
维护一个优先队列，存储连接MST和非MST顶点的边
每次取出最小权重边，如果终点不在MST中，则加入MST
更新优先队列，加入新顶点的所有邻接边

import heapq
from collections import defaultdictdef prim_mst(n, edges, start=0):"""Prim算法求最小生成树参数:n: 顶点数量edges: 边的列表，每条边格式为 (权重, 顶点1, 顶点2)start: 起始顶点（默认为0）返回:(mst_edges, total_weight): MST的边列表和总权重"""# 构建邻接表graph = defaultdict(list)for weight, u, v in edges:graph[u].append((weight, v))graph[v].append((weight, u))# 初始化visited = set()mst_edges = []total_weight = 0min_heap = []  # 优先队列：(权重, 起点, 终点)# 从start顶点开始visited.add(start)# 将start的所有邻接边加入优先队列for weight, neighbor in graph[start]:heapq.heappush(min_heap, (weight, start, neighbor))while min_heap and len(mst_edges) < n - 1:weight, u, v = heapq.heappop(min_heap)# 如果终点已经在MST中，跳过这条边if v in visited:continue# 将边加入MSTvisited.add(v)mst_edges.append((u, v, weight))total_weight += weight# 将新顶点v的所有邻接边加入优先队列for next_weight, neighbor in graph[v]:if neighbor not in visited:heapq.heappush(min_heap, (next_weight, v, neighbor))return mst_edges, total_weightdef prim_mst_matrix(adj_matrix, start=0):"""Prim算法的邻接矩阵实现（经典版本）参数:adj_matrix: 邻接矩阵，adj_matrix[i][j]表示顶点i到j的权重，0表示无边start: 起始顶点返回:(mst_edges, total_weight): MST的边列表和总权重"""n = len(adj_matrix)visited = [False] * nmin_edge = [float('inf')] * n  # 到MST的最小边权重parent = [-1] * n  # 记录父节点# 起始顶点min_edge[start] = 0mst_edges = []total_weight = 0for _ in range(n):# 找到未访问顶点中min_edge最小的u = -1for v in range(n):if not visited[v] and (u == -1 or min_edge[v] < min_edge[u]):u = vvisited[u] = True# 如果不是起始顶点，添加边到MSTif parent[u] != -1:mst_edges.append((parent[u], u, adj_matrix[parent[u]][u]))total_weight += adj_matrix[parent[u]][u]# 更新相邻顶点的最小边权重for v in range(n):if not visited[v] and adj_matrix[u][v] > 0:if adj_matrix[u][v] < min_edge[v]:min_edge[v] = adj_matrix[u][v]parent[v] = ureturn mst_edges, total_weight# 示例使用
if __name__ == "__main__":# 使用边表示的图n = 6edges = [(4, 0, 1), (6, 0, 2), (6, 0, 3),(2, 1, 2), (5, 1, 4),(1, 2, 3), (5, 2, 4), (3, 2, 5),(4, 3, 5),(6, 4, 5)]mst_edges, total_weight = prim_mst(n, edges)print("Prim算法结果（邻接表版本）：")print("MST边：", mst_edges)print("总权重：", total_weight)# 邻接矩阵版本adj_matrix = [[0, 4, 6, 6, 0, 0],[4, 0, 2, 0, 5, 0],[6, 2, 0, 1, 5, 3],[6, 0, 1, 0, 0, 4],[0, 5, 5, 0, 0, 6],[0, 0, 3, 4, 6, 0]]mst_edges2, total_weight2 = prim_mst_matrix(adj_matrix)print("\nPrim算法结果（邻接矩阵版本）：")print("MST边：", mst_edges2)print("总权重：", total_weight2)# 可视化MSTprint("\nMST边详情：")for u, v, w in mst_edges:print(f"顶点 {u} -- 顶点 {v}：权重 {w}")