CF2039E Shohag Loves Inversions

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题意：

给你一个数列，初始数列为 $ a = [0, 1] $ ，现在重复进行以下操作若干次：

• 将当前数组中逆序对个数 \(k\) 插入当前数组中任意一个位置，包括开头或者结尾。

其中 \(n\le 1e6\)

思路：

题意的逆序对数显然不好维护，首先模拟一下操作过程：

初始的逆序对数 \(k=0\) ，在一步步插入的过程中，若插入到了 \(1\) 的后面，我们的逆序对数发生了第一次的改变，\(k=0 \to k=1\) ，序列状态此时为 \(0\dots010\)。

然后一步步插入 \(1\) ，当第一次插入到了最后一个 \(0\) 的前面，我们逆序对数再次发生改变 \(k=1\to k\ge 2\)

再次插入 \(2\) ，当我们一直插入到序列末尾的 \(2\) 连续段之中时，逆序对数不变，如果插入到了除此之外的前面的任意一个位置，\(k\) 的值发生改变。

我们发现当 \(k\ge 2\) 时无论如何操作，最终的过程都与 \(k=2\) 同理，所以此时我们发现问题可以分析成三种子问题：\(k=0\)，\(k=1\)，\(k\ge 2\) ，我们最终只需要把这三种问题形成的序列种数相乘即可。

• \(k=0\) ，序列一定为 \(0\dots 01\)

• \(k=1\) ，序列一定为 \(0\dots 0101\dots 1\)

• \(k\ge 2\) ，可以设计 \(dp\) 状态，观察到若存在两个不同的刚刚升级完的序列，那么此时无论如何插入新逆序对数的位置，对于方案数都不会有影响，所以此时的序列方案数仅与序列长度相关，所以可设 \(f_i\) 表示序列长度为 \(i\) 的刚刚升级完的序列方案数为 \(f_i\) ，那么我们此时就分为两种情况进行插入：

  1. 插入序列末尾的 \(k\) 连续段，对于逆序对数无影响
  2. 插入 \(k\) 连续段前一个位置之前，逆序对数改变

  那么我们就有转移 \(f_i=\sum_j j\times f_j\) 。

所以我们只需要把这三种情况拼接即可。