ABC310D Peaceful Teams

洛谷[ABC310D] Peaceful Teams

题目大意

有$n$个运动员以及$m$对数，每对数为$A_i$和$B_i$，表示$A_i$和$B_i$不能分在同一小组。你需要将这些人分为$t$个小组，每个小组不能为空。

求分组的方案数。当一个划分中有两个运动员属于同一个队伍，而在另一个划分中属于不同的队伍时，这两个划分是不同的。

$1\le n\le 10,0\le m\le \frac{n(n-1)}{2}$

题解

用状压DP。

设$f_{i,s}$表示当前已经选择的运动员的状态为$s$，这些运动员分成了$i$组。则转移式为

$f_{i,s}=\sum f_{i-1,s\oplus j}$

其中$j$满足$j\&s=j$且$j$中状态为$1$的运动员中不存在两个不能分在同一个小组的运动员。

$j$是否满足后面的条件可以$O(m{2}^n)$预处理出，而因为$s$包含于$2^n-1$，$j$包含于$s$，所以枚举$s$和$j$的次数为$3^n$（每个运动员只有三种情况：不在$s$中、在$s$中但不在$j$中，在$s$中也在$j$中）。

注意当每个小组成员不变的情况下，会将一种情况计算$t!$次，所以答案为$\frac{f_{t,2^n-1}}{t!}$。

时间复杂度为$O(m{2}^n+t{3}^n)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,t,m,a[105],b[105],z[2005];
long long ans,f[15][2005];
int main()
{scanf("%d%d%d",&n,&t,&m);for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);}for(int s=0;s<1<<n;s++){z[s]=1;for(int k=1;k<=m;k++){if((s&(1<<a[k]-1))&&(s&(1<<b[k]-1))){z[s]=0;break;}}}f[0][0]=1;for(int i=1;i<=t;i++){for(int s=1;s<1<<n;s++){for(int j=s;j>=1;j=(j-1)&s){if(z[j]) f[i][s]+=f[i-1][s^j];}}}ans=f[t][(1<<n)-1];for(int i=1;i<=t;i++) ans/=i;printf("%lld",ans);return 0;
}