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欧拉定理
设 m m m是正整数, r ∈ Z m r\in \mathbb{Z}_m r∈Zm且 g c d ( r , m ) = 1 gcd(r,m)=1 gcd(r,m)=1。那么:
r ϕ ( m ) = 1 ( m o d m ) r^{\phi(m)}=1(mod~m) rϕ(m)=1(mod m)
证:设 r 1 , r 2 , . . . , r ϕ ( m ) r_1,r_2,...,r_{\phi(m)} r1,r2,...,rϕ(m)是一组即约剩余系,那么 r r 1 , . . . , r r ϕ ( m ) rr_1,...,rr_{\phi(m)} rr1,...,rrϕ(m)也是即约剩余系。
因此 ( r r 1 ) ∗ . . . . ∗ ( r r ϕ ( m ) ) = r 1 , . . . , r ϕ ( m ) ( m o d m ) (rr_1)*....*(rr_{\phi(m)})=r_1,...,r_{\phi(m)}(mod~m) (rr1)∗....∗(rrϕ(m))=r1,...,rϕ(m)(mod m)(补充证明)
即 r ϕ ( m ) ( r 1 , . . . , r ϕ ( m ) ) = ( r 1 , . . . , r ϕ ( m ) ) ( m o d m ) r^{\phi(m)}(r_1,...,r_{\phi(m)})=(r_1,...,r_{\phi(m)})(mod~m) rϕ(m)(r1,...,rϕ(m))=(r1,...,rϕ(m))(mod m)
r 1 , . . . , r ϕ ( m ) r_1,...,r_{\phi(m)} r1,...,rϕ(m)与 m m m互素,所以 r ϕ ( m ) = 1 ( m o d m ) r^{\phi(m)}=1(mod~m) rϕ(m)=1(mod m)。
补充证明:
设 m ∈ Z + m\in \mathbb{Z}^+ m∈Z+,整数 a , g c d ( a , m ) = 1 a,gcd(a,m)=1 a,gcd(a,m)=1。若 x x x是模 m m m的即约剩余系,那么 a x ax ax也是模 m m m的即约剩余系。
证:因为 g c d ( a , m = 1 ) , g c d ( x , m ) = 1 gcd(a,m=1),gcd(x,m)=1 gcd(a,m=1),gcd(x,m)=1,那么 g c d ( a x , m ) = 1 gcd(ax,m)=1 gcd(ax,m)=1。若 a x ax ax中存在元素相等,那么有 a x i = a x j ( m o d m ) ax_i=ax_j(mod~m) axi=axj(mod m),则有 x i = x j ( m o d m ) x_i=x_j(mod~m) xi=xj(mod m),于已知违背,所以 a x ax ax也是模 m m m的即约剩余系。
两个不同模 m m m即约剩余系乘积相等。
证:设 与 m m m互素的 ϕ ( m ) \phi(m) ϕ(m)个小于 m m m的元素(最小非负即约剩余系)为 x 1 , . . , x ϕ ( m ) x_1,..,x_{\phi(m)} x1,..,xϕ(m),则即约剩余系表示为 x 1 + k 1 m , . . . , x ϕ ( m ) + k ϕ ( m ) m x_1+k_1m,...,x_{\phi(m)}+k_{\phi(m)}m x1+k1m,...,xϕ(m)+kϕ(m)m
两个即约剩余系的乘积分别为
a = ( x 1 + k 1 m ) ∗ . . . ∗ x ϕ ( m ) + k ϕ ( m ) m = ( x 1 ∗ . . . ∗ x ϕ ( m ) ) + r m a=(x_1+k_1m)*...*x_{\phi(m)}+k_{\phi(m)}m=(x_1*...*x_{\phi(m)})+rm a=(x1+k1m)∗...∗xϕ(m)+kϕ(m)m=(x1∗...∗xϕ(m))+rm;
b = ( x 1 + k 1 ′ m ) ∗ . . . ∗ x ϕ ( m ) + k ϕ ( m ) ′ m = ( x 1 ∗ . . . ∗ x ϕ ( m ) ) + r ′ m b=(x_1+k_1'm)*...*x_{\phi(m)}+k_{\phi(m)}'m=(x_1*...*x_{\phi(m)})+r'm b=(x1+k1′m)∗...∗xϕ(m)+kϕ(m)′m=(x1∗...∗xϕ(m))+r′m
因此 a = b ( m o d m ) a=b(mod~m) a=b(mod m)
费马小定理
设 p p p是素数,对任意 a ∈ Z a\in \mathbb{Z} a∈Z,有 a p = a ( m o d p ) a^p=a(mod~p) ap=a(mod p)
证:
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a = k p , 0 = a ( m o d p ) a=kp,0=a(mod~p) a=kp,0=a(mod p),得 ( k p ) p = k p p p ( m o d p ) = 0 (kp)^p=k^pp^p(mod~p)=0 (kp)p=kppp(mod p)=0。
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a ≠ k p a\ne kp a=kp,那么 g c d ( a , p ) = 1 gcd(a,p)=1 gcd(a,p)=1,则有 a p − 1 = 1 ( m o d p ) a^{p-1}=1(mod~p) ap−1=1(mod p),所以 a p = p ( m p d p ) a^p=p(mpd~p) ap=p(mpd p)