标签：树、最小点覆盖、树形$dp$
题意：求树的最小点覆盖集的大小和对应的数量，数量对$1,000,000,007$取余数。
所谓覆盖集，是该树的点构成的集合，对树上每一条边，至少有一个顶点属于该集合。某个特定覆盖集的大小就是该集合中点的数量。
题解：
第一问：最小点覆盖集的大小比较好求，也是非常经典的一个模型，和上题树形$dp$差不多，对于每个节点$u$分一下两种情况：

dp[u][0]：表示节点u属于点覆盖集，且以点u为根的子树中所连接的边都被覆盖的情况下点覆盖集中所包含最少点的个数。
dp[u][1]：表示点u不属于点覆盖集，并且以点u为根的子树中所连接的边都被覆盖的情况下点覆盖集中所包含最少点的个数。

以第二个样例举例：$4$、$5$、$6$这三个节点很显然选和不选到覆盖集分别是$1$和$0$。
对于$2$这个节点来说，如果选了，那么$2$到$5$这条边，可以直接覆盖，我们加上节点$5$不选的情况（$dp[5][1]$）；如果不选，那么$2$到$5$这条边，得通过选节点$5$（即加上$dp[5][[0]$）。

对应节点$3$同理，然后回到节点$1$来看，我们可以把节点$1$选了，那么节点 $2、3、4$选和不选无所谓了，反正节点$1$能覆盖到和他们对应的边；不选节点$1$，那么节点 $2、3、4$都得选上（即加上$dp[2][0]+dp[3][0]+dp[4][0]$）。

总结一下：

1. 对于第一种状态$dp[u][0]$，等于每个孩子节点的两种状态的最小值之和加$1$，即$dp[u][0]=1+\Sigma min(dp[v][0],dp[v][1])(fa[v]=u)$
2. 对于第二种状态$dp[u][1]$，等于每个孩子节点的第一种状态之和，即$dp[u][1]=\Sigma dp[v][0](fa[v]=u)$

第二问：求最小覆盖集的数量，对于每个节点$u$分一下两种情况：

cnt[u][0]：表示节点u属于点覆盖集，以点u为根的子树，当前最小覆盖集的数量
cnt[u][1]：表示点u不属于点覆盖集，以点u为根的子树，当前最小覆盖集的数量

1. $cnt[u][1]$的状态转移方程比较好想，它的所有孩子节点都得选进覆盖集，所以对所以孩子节点的$cnt[v][0]$做一个乘积。即$cnt[u][1]=cnt[u][1]\ast cnt[v][0]$
2. $cnt[u][0]$我们得去考虑，对于孩子节点$v$来说是选还是不选能够获得更小的覆盖集大小，如果都能，得都加起来做一个乘积；否则从更小的情况转移过来做乘积。（详情看代码部分，可以自己再推导下）

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
vector<ll> e[200005];
ll n, x, dp[200005][2], cnt[200005][2];void dfs(ll u) {dp[u][0] = 1;dp[u][1] = 0;cnt[u][0] = cnt[u][1] = 1;for (ll i = 0; i < e[u].size(); i++) {ll v = e[u][i];dfs(v);if (dp[v][0] == dp[v][1]) cnt[u][0] = cnt[u][0] * (cnt[v][0] + cnt[v][1]) % mod;else if (dp[v][0] < dp[v][1]) cnt[u][0] = cnt[u][0] * cnt[v][0] % mod;else if (dp[v][0] > dp[v][1]) cnt[u][0] = cnt[u][0] * cnt[v][1] % mod;cnt[u][1] = cnt[u][1] * cnt[v][0] % mod;dp[u][0] += min(dp[v][0], dp[v][1]);dp[u][1] += dp[v][0];}
}int main() {cin >> n;for (int i = 2; i <= n; i++) {cin >> x;e[x].push_back(i);}dfs(1);cout << min(dp[1][0], dp[1][1]) << endl;if (dp[1][0] == dp[1][1]) cout << (cnt[1][0] + cnt[1][1]) % mod << endl;else if (dp[1][0] < dp[1][1]) cout << cnt[1][0] % mod << endl;else if (dp[1][0] > dp[1][1]) cout << cnt[1][1] % mod << endl;return 0;
}