【单调队列单调栈专题】【蓝桥杯备考训练】：矩形牛棚、单调栈、滑动窗口、子矩阵、最大子序和、烽火传递【已更新完成】

目录

1、矩形牛棚（usaco training 6.1）

思路：

预处理的过程：

判断左右边界的过程：

代码：

2、单调栈（单调栈模板）

思路：

基本步骤：

1、维护单调性

2、处理要求的操作

3、入栈

代码：

3、滑动窗口（单调队列模板）

思路：

基本步骤（以求最大值为例）：

1、维护单调性（在尾部做处理）

2、入队

3、判断是否滑出窗口，滑出则hh++

4、做要求的处理

代码：

4、子矩阵（第十四届蓝桥杯省赛C++ C组、第十四届蓝桥杯省赛Java C组/研究生组、第十四届蓝桥杯省赛Python A组）

思路：

固定左右边界进行枚举的过程：

实现得到滑动窗口最大值最小值的函数：

代码：

5、最大子序和（《算法竞赛进阶指南》）

思路：

滑动窗口中维护前缀和的单调性的步骤：

代码：

6、烽火传递(NOIP2010提高组初赛、《信息学奥赛一本通》)

思路：

维护单调性的步骤：

代码：

1、矩形牛棚（usaco training 6.1）

作为一个资本家，农夫约翰希望通过购买更多的奶牛来扩大他的牛奶业务。

因此，他需要找地方建立一个新的牛棚。

约翰购买了一大块土地，这个土地可以看作是一个 R行（编号 1∼R）C列（编号 1∼C）的方格矩阵。

不幸的是，他发现其中的部分方格区域已经被破坏了，因此他无法在整个 R×C 的土地上建立牛棚。

经调查，他发现共有 P 个方格内的土地遭到了破坏。

建立的牛棚必须是矩形的，并且内部不能包含被破坏的土地。

请你帮约翰计算，他能建造的最大的牛棚的面积是多少。

输入格式

第一行包含三个整数 R,C,P。

接下来 P 行，每行包含两个整数 r,c，表示第 r 行第 c 列的方格区域内土地是被破坏的。

输出格式

输出牛棚的最大可能面积。

数据范围

1≤R,C≤3000
0≤P≤30000
1≤r≤R1
1≤c≤C1

输入样例：

3 4 2
1 3
2 1

输出样例：

思路：

对于每行（预处理好每个方块上面最多能用的方块的个数），枚举其中的每列，分别判断左右两边第一列比该行少的位置，然后底乘高算出面积，维护最大值即可

预处理的过程：

	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){if(g[i][j]==0){h[i][j]=h[i-1][j]+1;}}//记录这一位置上面能用的格子是多少

判断左右边界的过程：

int work(int a[])
{a[0]=-1,a[m+1]=-1;int tt=0;//枚举左边第一个比这个位置上面能用的格子少的左边界 stk[++tt]=0;//把左边界加进去 for(int i=1;i<=m;i++){while(a[i]<=a[stk[tt]])tt--;//栈顶元素大于等于当前元素的话弹出栈顶 l[i]=stk[tt];stk[++tt]=i; } tt=0;stk[++tt]=m+1;for(int i=m;i>=1;i--){while(a[stk[tt]]>=a[i])tt--;r[i]=stk[tt];stk[++tt]=i;}int res=0;for(int i=1;i<=m;i++){res=max(res,a[i]*(r[i]-l[i]-1));}return res;
}

代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=3010;int n,m,p;int g[N][N],h[N][N];int l[N],r[N];int stk[N];int work(int a[])
{a[0]=-1,a[m+1]=-1;int tt=0;//枚举左边第一个比这个位置上面能用的格子少的左边界 stk[++tt]=0;//把左边界加进去 for(int i=1;i<=m;i++){while(a[i]<=a[stk[tt]])tt--;//栈顶元素大于等于当前元素的话弹出栈顶 l[i]=stk[tt];stk[++tt]=i; } tt=0;stk[++tt]=m+1;for(int i=m;i>=1;i--){while(a[stk[tt]]>=a[i])tt--;r[i]=stk[tt];stk[++tt]=i;}int res=0;for(int i=1;i<=m;i++){res=max(res,a[i]*(r[i]-l[i]-1));}return res;
}int main()
{cin>>n>>m>>p;for(int i=0;i<p;i++){int r,c;cin>>r>>c;g[r][c]=1;//标记为破坏 }for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){if(g[i][j]==0){h[i][j]=h[i-1][j]+1;}}//记录这一位置上面能用的格子是多少 int res=0;for(int i=1;i<=n;i++){res=max(res,work(h[i]));}cout<<res;return 0;
}

2、单调栈（单调栈模板）

给定一个长度为 N 的整数数列，输出每个数左边第一个比它小的数，如果不存在则输出 −1。

输入格式

第一行包含整数 N，表示数列长度。

第二行包含 N 个整数，表示整数数列。

输出格式

共一行，包含 N 个整数，其中第 i 个数表示第 i 个数的左边第一个比它小的数，如果不存在则输出 −1。

数据范围

1≤N≤1e5
1≤数列中元素≤1e9

输入样例：

5
3 4 2 7 5

输出样例：

-1 3 -1 2 2

思路：

经典单调栈模板

基本步骤：

1、维护单调性

while(tt>0 && s[tt]>=x)tt--;

2、处理要求的操作

if(tt<=0)cout<<"-1"<<" ";else cout<<s[tt]<<" ";

3、入栈

s[++tt]=x;

代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 1e5 +5 ;int tt;
int s[N];int main()
{int n;cin>>n;while(n--){int x;cin>>x;while(tt>0 && s[tt]>=x)tt--;if(tt<=0)cout<<"-1"<<" ";else cout<<s[tt]<<" ";s[++tt]=x;}	return 0;
}

3、滑动窗口（单调队列模板）

给定一个大小为 n≤1e6 的数组。

有一个大小为 k 的滑动窗口，它从数组的最左边移动到最右边。

你只能在窗口中看到 k 个数字。

每次滑动窗口向右移动一个位置。

以下是一个例子：

该数组为 [1 3 -1 -3 5 3 6 7]，k 为 3。

窗口位置最小值最大值
[1 3 -1] -3 5 3 6 7 -1 3
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7 -3 3
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7 -3 5
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7 -3 5
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7 3 6
1 3 -1 -3 5 [3 6 7] 3 7

你的任务是确定滑动窗口位于每个位置时，窗口中的最大值和最小值。

输入格式

输入包含两行。

第一行包含两个整数 n 和 k，分别代表数组长度和滑动窗口的长度。

第二行有 n 个整数，代表数组的具体数值。

同行数据之间用空格隔开。

输出格式

输出包含两个。

第一行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最小值。

第二行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最大值。

窗口位置	最小值	最大值
[1 3 -1] -3 5 3 6 7	-1	3
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7	-3	3
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7	-3	5
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7	-3	5
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7	3	6
1 3 -1 -3 5 [3 6 7]	3	7

输入样例：

8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7

输出样例：

-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7

思路：

经典单调队列模板

基本步骤（以求最大值为例）：

1、维护单调性（在尾部做处理）

while(hh<=tt && a[i]>dq[tt])tt--;

2、入队

dq[++tt]=a[i];

3、判断是否滑出窗口，滑出则hh++

if(i-k>=0 && dq[hh]==a[i-k])hh++;

4、做要求的处理

if(i+1>=k)cout<<dq[hh]<<" ";

代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=1e6+5;int n,k;int tt=-1,hh;
int dq[N],a[N];int main()
{cin>>n>>k;for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&a[i]);//求窗口最小值 for(int i=0;i<n;i++){while(hh<=tt && a[i]<dq[tt])tt--;dq[++tt]=a[i];//if(i-k>=0 && dq[hh]==a[i-k])hh++;//队头一定是最小的if(i+1>=k)cout<<dq[hh]<<" "; }	cout<<endl;//求最大值tt=-1,hh=0;for(int i=0;i<n;i++){while(hh<=tt && a[i]>dq[tt])tt--;dq[++tt]=a[i];if(i-k>=0 && dq[hh]==a[i-k])hh++;if(i+1>=k)cout<<dq[hh]<<" ";	} return 0;
}

4、子矩阵（第十四届蓝桥杯省赛C++ C组、第十四届蓝桥杯省赛Java C组/研究生组、第十四届蓝桥杯省赛Python A组）

给定一个 n×m（n 行 m 列）的矩阵。

设一个矩阵的价值为其所有数中的最大值和最小值的乘积。

求给定矩阵的所有大小为 a×b （a 行 b 列）的子矩阵的价值的和。

答案可能很大，你只需要输出答案对 998244353998244353 取模后的结果。

输入格式

输入的第一行包含四个整数分别表示 n,m,a,b相邻整数之间使用一个空格分隔。

接下来 n行每行包含 m 个整数，相邻整数之间使用一个空格分隔，表示矩阵中的每个数 A[i],[j]。

输出格式

输出一行包含一个整数表示答案。

数据范围

对于 40%40% 的评测用例，1≤n,m≤100
对于 70%70% 的评测用例，1≤n,m≤500；
对于所有评测用例，1≤a≤n≤1000，1≤b≤m≤1000，1≤Ai,j≤1e9。

输入样例：

2 3 1 2
1 2 3
4 5 6

输出样例：

样例解释

1×2+2×3+4×5+5×6=581×2+2×3+4×5+5×6=58。

思路：

固定左右边界进行枚举，这时候从上上边界往下边界枚举，每次在每个区域中在每行的最小值中选出最小的，在每行的最大值中选出最大的，这个区域的最大值乘最小值就是该矩阵的价值

固定左右边界进行枚举的过程：

	for(int i=b-1;i<m;i++)//固定好列区间 {for(int j=0;j<n;j++)A[j]=maxr[j][i];//每行：把每个窗口最大的数取出来getmax(A,B,n,a);//存到B中 for(int j=0;j<n;j++)A[j]=minr[j][i];//每行：把每个窗口最小的数取出来 getmin(A,C,n,a);//存到C中 for(int j=a-1;j<n;j++)	{res=(res+(LL)B[j]*C[j])%MOD;}}

实现得到滑动窗口最大值最小值的函数：

void getmin(int a[],int b[],int total,int lenth)
{int tt=-1,hh=0;for(int i=0;i<total;i++){//判断元素是否滑出窗口 if(hh<=tt && q[hh]<=i-lenth)hh++;//判断新元素和旧元素的大小关系确保队列单调while(hh<=tt && a[i]<=a[q[tt]])tt--; 	//入队 q[++tt]=i;//把最值交给存储数组 （队头一定是最小的） if(i>=lenth-1)b[i]=a[q[hh]];//i>=k-1表示滑动窗口形成}
}void getmax(int a[],int b[],int total,int lenth)
{int tt=-1,hh=0;for(int i=0;i<total;i++){if(hh<=tt && q[hh]<=i-lenth)hh++;while(hh<=tt && a[i]>=a[q[tt]])tt--;q[++tt]=i;//队头一定是最大的，赋值给b if(i>=lenth-1)b[i]=a[q[hh]];}
}

代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=1010;int n,m,a,b; int g[N][N],minr[N][N],maxr[N][N]; int q[N];typedef long long LL;const int MOD=998244353;void getmin(int a[],int b[],int total,int lenth)
{int tt=-1,hh=0;for(int i=0;i<total;i++){//判断元素是否滑出窗口 if(hh<=tt && q[hh]<=i-lenth)hh++;//判断新元素和旧元素的大小关系确保队列单调while(hh<=tt && a[i]<=a[q[tt]])tt--; 	//入队 q[++tt]=i;//把最值交给存储数组 （队头一定是最小的） if(i>=lenth-1)b[i]=a[q[hh]];//i>=k-1表示滑动窗口形成}
}void getmax(int a[],int b[],int total,int lenth)
{int tt=-1,hh=0;for(int i=0;i<total;i++){if(hh<=tt && q[hh]<=i-lenth)hh++;while(hh<=tt && a[i]>=a[q[tt]])tt--;q[++tt]=i;//队头一定是最大的，赋值给b if(i>=lenth-1)b[i]=a[q[hh]];}
}int main()
{cin>>n>>m>>a>>b;for(int i=0;i<n;i++)for(int j=0;j<m;j++)scanf("%d",&g[i][j]);//for(int i=0;i<n;i++)//for(int j=0;j<m;j++)printf("%d",g[i][j]);//预处理出来每一行中滑动窗口的最值 for(int i=0;i<n;i++){getmin(g[i],minr[i],m,b);getmax(g[i],maxr[i],m,b);}int res=0;int A[N],B[N],C[N];for(int i=b-1;i<m;i++)//固定好列区间 {for(int j=0;j<n;j++)A[j]=maxr[j][i];//每行：把每个窗口最大的数取出来getmax(A,B,n,a);//存到B中 for(int j=0;j<n;j++)A[j]=minr[j][i];//每行：把每个窗口最小的数取出来 getmin(A,C,n,a);//存到C中 for(int j=a-1;j<n;j++)	{res=(res+(LL)B[j]*C[j])%MOD;}}cout<<res;return 0;
}

5、最大子序和（《算法竞赛进阶指南》）

输入一个长度为 n 的整数序列，从中找出一段长度不超过 m 的连续子序列，使得子序列中所有数的和最大。

注意： 子序列的长度至少是 1。

输入格式

第一行输入两个整数 n,m。

第二行输入 n 个数，代表长度为 n 的整数序列。

同一行数之间用空格隔开。

输出格式

输出一个整数，代表该序列的最大子序和。

数据范围

1≤n,m≤300000
保证所有输入和最终结果都在 int 范围内。

输入样例：

6 4
1 -3 5 1 -2 3

输出样例：

思路：

前缀和+滑动窗口

滑动窗口中维护前缀和的单调性的步骤：

//s[q[tt]] 即将被减去，当然是越小越好 
//如果s[i](前i个数的和)小于s[q[tt]](前面的前缀和)
//那么s[i]更适合被减去来求后面的前缀和 
while(hh<=tt && s[q[tt]]>=s[i])tt--;

代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=300000+10;int n,m; long long  s[N];int q[N],hh=-1,tt;int main()
{cin>>n>>m;//前缀和 for(int i=1;i<=n;i++){cin>>s[i];s[i]+=s[i-1];}long long res=INT_MIN;for(int i=1;i<=n;i++){//判断是否滑出窗口 if(hh<=tt && q[hh]<=i-m-1)hh++;//保持单调性 //while(hh<=tt &&  )res=max(res,s[i]-s[q[hh]]);//s[q[tt]] 即将被减去，当然是越小越好 //如果s[i](前i个数的和)小于s[q[tt]](前面的前缀和)//那么s[i]更适合被减去来求后面的前缀和 while(hh<=tt && s[q[tt]]>=s[i])tt--;q[++tt]=i;}cout<<res;return 0;
}

6、烽火传递(NOIP2010提高组初赛、《信息学奥赛一本通》)

烽火台是重要的军事防御设施，一般建在交通要道或险要处。

一旦有军情发生，则白天用浓烟，晚上有火光传递军情。

在某两个城市之间有 n 座烽火台，每个烽火台发出信号都有一定的代价。

为了使情报准确传递，在连续 m 个烽火台中至少要有一个发出信号。

现在输入 n,m 和每个烽火台的代价，请计算在两城市之间准确传递情报所需花费的总代价最少为多少。

输入格式

第一行是两个整数 n,m，具体含义见题目描述；

第二行 n 个整数表示每个烽火台的代价 ai。

输出格式

输出仅一个整数，表示最小代价。

数据范围

1≤m≤n≤2×1e5
0≤ai≤1000

输入样例：

5 3
1 2 5 6 2

输出样例：

思路：

动态规划+单调队列

f[i]表示第i个烽火台点燃需要的最小代价

维护单调性的步骤：

//维护单调性
while(hh<=tt && f[i]<=f[q[tt]])tt--;

代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=2e5+10;int n,m; int a[N];int q[N];int hh,tt=-1;
//dp
int f[N];int main()
{cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i];}//前0个烽火台的最小代价是0 f[++tt]=0;int res=1e9;for(int i=1;i<=n;i++){//f[i]表示第i个烽火台点燃需要的最小代价//超出i-m范围则不合法 if(q[hh]<i-m)hh++;f[i]=f[q[hh]]+a[i];//维护单调性while(hh<=tt && f[i]<=f[q[tt]])tt--;q[++tt]=i; }for(int i=n-m+1;i<=n;i++)res=min(res,f[i]);cout<<res;return 0;
} 
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