数学与数论|素数筛

1.判断素数
2.朴素筛
3.埃氏筛
4.欧拉筛(线性筛)

心有猛虎，细嗅蔷薇。你好朋友，这里是锅巴的C\C++学习笔记，常言道，不积跬步无以至千里，希望有朝一日我们积累的滴水可以击穿顽石。

质数(素数)：
质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

判断素数

实践代码：

注意
为什么要用x/i?
x/i与sqrt(x)异曲同工，但是sqrt(x)需要调用sqrt()函数，会拖慢运行速度，所以可以改成i * i <= x,但你i * i如果数据范围稍大一点可能会出现溢出情况，所以此时x/i是非常优的解决方式。

bool isPrime(int x){//O(n)时间复杂度for(int i=2;i<x;i++){if(x%i==0) return false;}return true;
}bool isPrime(int x){//O(sqrt(n))时间复杂度for(int i=2;i<=x/i;i++){if(x%i==0) return false;}return true;
}

常识： 一个合数，一定存在非1非本身的质因子，如4 = 2 * 2。

朴素筛法

朴素筛：又叫试除法
目的：求出1~n中质数的个数
基本思路：O（nlogn）：结合判断素数函数isPrime()，遍历从1~n，如果是质数就用prime数组存储记录。

实践代码：

int prime[N];
int cnt=0;
bool isPrime(int x){for(int i=2;i<=x/i;i++){if(x%i==0) return false;}return true;
}
void solve(){int n;cin>>n;for(int i=2;i<=n;i++){if(isPrime(i)) prime[cnt++]=i;}
}

埃氏筛

埃氏筛：通过质数(的倍数)去把所有合数筛掉

实践代码：

int pri[N];//0为素数，1为合数(被筛除)，初始化都是素数
int cnt=0;
void ers(int n){for(int i=2;i<=n/i;i++){if(!pri[i]) for(int j=i*i;j<=n;j+=i) pri[i]=1;}for(int i=2;i<=n;i++) if(!pri[i]) cnt++;
}

欧拉筛(线性筛)

由于埃氏筛每一次筛出素数的倍数时会出现重复筛出的操作，拖慢了运行速度，所以我们引进欧拉筛，来对埃氏筛进行优化。

欧拉筛：只需要筛除素数i的k(k<=i)倍，而我们这里用pri数组记录是否为素数时，初始化全为0(即都是素数)
举个例子，比如筛除3的倍数时，我们只需要筛除13，23，33即可，那为什么34=12不被筛除呢， 因为当筛除4的倍数时就能把4*3=12筛掉，避免重复。

实践代码：

int pri[N];
int primes[N];
void ola(int n){int k=0,cnt=0;for(int i=2;i<=n;i++){if(!pri[i]) primes[++k]=i;for(int j=1;primes[j]*i<=n;j++){pri[primes[j]*i]=1;//倍数都置为合数(1)if(i%primes[j]==0) break;//优化的关键}}
}

例题

【模板】线性筛素数

题目背景

本题已更新，从判断素数改为了查询第 $k$ 小的素数
提示：如果你使用 cin 来读入，建议使用 std::ios::sync_with_stdio(0) 来加速。

题目描述

如题，给定一个范围 $n$，有 $q$ 个询问，每次输出第 $k$ 小的素数。

输入格式

第一行包含两个正整数 $n,q$，分别表示查询的范围和查询的个数。

接下来 $q$ 行每行一个正整数 $k$，表示查询第 $k$ 小的素数。

输出格式

输出 $q$ 行，每行一个正整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

100 5
1
2
3
4
5

样例输出 #1

2
3
5
7
11

提示

【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据，$n=10^8$，$1\le q\le 10^6$，保证查询的素数不大于 $n$。

Data by NaCly_Fish.

实践代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
#define INF = 0x3f3f3f3f//无穷大
#define PII pair<int,int>
const int N = 1e5+10;
const int mod = 1e9+7;
int pri[N];
int primes[N];
void ola(int n){//欧拉筛int k=0,cnt=0;for(int i=2;i<=n;i++){if(!pri[i]) primes[++k]=i;for(int j=1;primes[j]*i<=n;j++){pri[primes[j]*i]=1;//倍数都置为合数(1)if(i%primes[j]==0) break;//优化的关键}}
}
void solve(){int n,q;cin>>n>>q;ola(n);while(q--){int k;cin>>k;cout<<primes[k]<<endl;}
}
signed main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0);int t=1;//cin>>t;while(t--){solve();}return 0;
}

心有猛虎，细嗅蔷薇。再见了朋友~