LeetCode刷题笔记之动态规划（一）

一、动态规划的基础知识

动态规划（Dynamic Programming，简称DP），动态规划问题的一般形式就是求最值，求解动态规划的核心问题是穷举，动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的。
解题步骤：
- 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组

二、一维状态转移公式

1. 509【斐波那契数】

题目： 斐波那契数（通常用 F(n) 表示）形成的序列称为斐波那契数列。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。
代码：

class Solution {public int fib(int n) {//1.确定dp数组，及下标含义：第i个斐波那契数//2.确定递推公式，即状态转移方程：题中给出//3.确定如何初始化dp数组，题中给出//4.确定遍历顺序，题中给出//5.推导验证dp数组if(n<=1) return n;int[] dp = new int [n+1];dp[0] = 0;dp[1] = 1;for (int i = 2; i <=n ; i++) {dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2];}return dp[n];}
}

2. 70【爬楼梯】

题目： 假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
代码：

class Solution {public int climbStairs(int n) {//dp数组，爬第i层楼梯有几种方式//dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]//dp[1]=1,dp[2]=2if(n<=2) return n;int[] dp = new int [n+1];dp[1] = 1;dp[2] = 2;for (int i = 3; i <=n ; i++) {dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2];}return dp[n];}
}

3. 746【使用最小花费爬楼梯】

题目： 给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。
代码：

class Solution {public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {//你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯//这句话表示爬到0或1是不用支付费用的，但是从0或1开始爬是要花费的//dp数组表示爬到第i个台阶需要支付的最小费用//dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])//dp[0]=0,dp[1]=0int[] dp = new int[cost.length+1];for (int i = 0; i <= cost.length; i++) {if(i==0||i==1) dp[i] = 0;else {dp[i] = Math.min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);}}return dp[cost.length];}
}

三、二维状态转移公式

1. 62【不同路径】

题目： 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。问总共有多少条不同的路径？
代码：

class Solution {public int uniquePaths(int m, int n) {//dp表示的是到达第i行j列总共有多少路径//dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1]//关键的是第一行和第一列的所有位置都只有一种方法int[][] dp = new int[m][n];for(int i=0;i<m;i++){dp[i][0] = 1;}for (int i = 0; i < n; i++) {dp[0][i] = 1;}for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];}}return dp[m-1][n-1];}
}

2. 63【不同路径 II】

题目： 一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。
代码：

class Solution {public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {//有障碍物的地方dp应该直接赋值为0//第一行和第1列只要遇到障碍物就停止赋值int m = obstacleGrid.length;int n = obstacleGrid[0].length;int[][] dp = new int[m][n];for (int i = 0; i < m; i++) {if(obstacleGrid[i][0] == 1) break;dp[i][0] = 1;}for (int i = 0; i < n; i++) {if(obstacleGrid[0][i] == 1) break;dp[0][i] = 1;}for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {if(obstacleGrid[i][j] == 1){dp[i][j] = 0;}else{dp[i][j] = dp[i-1][j]+dp[i][j-1];}}}return dp[m-1][n-1];}
}

3. 96【不同的二叉搜索树】

题目： 给你一个链表的头节点 head 和一个整数 val ，请你删除链表中所有满足 Node.val == val 的节点，并返回新的头节点。
代码：

class Solution {public int numTrees(int n) {//dp表示节点值从1到n组成的不同的BST数，rp表示由n个节点组成，且根节点为i的BST数//从每个节点组成的树的角度，dp[i]=rp[1]+rp[2]+...+rp[i-1]+rp[i]//从树的左右子树角度，rp[i]=dp[i-1]*dp[n-i]//所以dp[i]=dp[1-1]*dp[n-1]+...+dp[i-1]*dp[i-i]//初始化dp[1]=dp[0]*dp[0],dp[0]=1int[] dp = new int[n+1];dp[0] = 1;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=i;j++){dp[i] += dp[j-1]*dp[i-j];}}return dp[n];}
}