可持久化线段树 2

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可持久化线段树

前言

这个东西之前讲过，但是用得少，很快就忘了。

我又看了我之前的那篇笔记，简直就是胡言乱语。所了解的太浅了。

最近在刷数据结构，于是决定再写一篇。

但是，之前那篇不打算删了，想看黑历史的可以去看。

算法概要

可持久——即可以保存历史版本。

我们如何得到一棵可以保存历史数据的树呢？最笨的方法就是每个操作之后都建一棵线段树。

如何优化？

发现我们可以共用前面建好的结构，无需重新建树。

主席树

主席树是可持久化线段树的一种，由黄嘉泰发明，因名字缩写而被称为主席树。

主席树一开始是用来处理区间第 $k$ 小的问题。

一句话概要思想：一棵权值线段树是由不在同一层的从根到叶子结点的链构成。

什么意思呢？

可以理解成一条时间轴将根节点穿起来，每个根节点都是一个历史版本的入口，每个历史版本都可以沿用以前的节点结构。

实现主席树——建树

难点其实就是建树，因为这与主席树的思想紧紧相关。

每次插入一个信息，就将它从根节点到叶子结点的这条链新建出来（权值线段树）。

当然，这条链上的节点都是新建，因为这是一个新的历史版本；其他节点就沿用以前的节点。

例 1 区间第 $k$ 小

P3834 【模板】可持久化线段树 2

怎么做呢？

我们可以按顺序插入数组中的每个元素。

这样的话就有 $n$ 个历史版本。

当我们想知道 $[l, r]$ 的第 $k$ 小时，我们可以只关注版本 $l - 1$ 和版本 $r$ 。

这样的话，又因为这是棵权值线段树，所以可以通过当前节点的 $s i ze$ 之差来判断第 $k$ 小在什么地方。

注意，本题不带修。

带修怎么办呢？看例 3。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;#define int long longconst int MAXN=2e5+5,INF=1e9;int n,m,tot;
int a[MAXN];
int rts[MAXN];
struct TREE
{int lc,rc,sz;
}tr[MAXN<<5];void pushup(int rt)
{tr[rt].sz=tr[tr[rt].lc].sz+tr[tr[rt].rc].sz;
}void update(int &rt,int lst,int l,int r,int val)
{rt=++tot;tr[rt]=tr[lst];if(l==r)tr[rt].sz++;else{int mid=(l+r)>>1;if(val<=mid)update(tr[rt].lc,tr[lst].lc,l,mid,val);elseupdate(tr[rt].rc,tr[lst].rc,mid+1,r,val);pushup(rt);}
}int query(int r1,int r2,int l,int r,int k)
{if(l==r)return l;int lc1=tr[r1].lc,lc2=tr[r2].lc;int mid=(l+r)>>1;int tmp=tr[lc2].sz-tr[lc1].sz;if(tmp>=k)return query(lc1,lc2,l,mid,k);return query(tr[r1].rc,tr[r2].rc,mid+1,r,k-tmp);
}signed main()
{scanf("%lld%lld",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){scanf("%lld",&a[i]);update(rts[i],rts[i-1],-INF,INF,a[i]);}for(int i=1;i<=m;i++){int x,y,z;scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&z);printf("%lld\n",query(rts[x-1],rts[y],-INF,INF,z));}return 0;
}

例 2 可持续化数组

P3919 【模板】可持久化线段树 1（可持久化数组）

这个就是很简单的了，不用权值线段树。

首先对于原数组建线段树，称为历史版本 0。

然后对于 $m$ 次操作，每次都是一个历史版本；如果是查询操作，就复制前一个一模一样的。

剩下的就是中规中矩了，就是建一条链，其他节点就沿用。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;// #define int long long
#define ls tr[rt].lc
#define rs tr[rt].rcconst int MAXN=2e6+5;int n,m;
int a[MAXN],rts[MAXN*20];
struct HJT
{int lc,rc,val;
}tr[MAXN*20];
int tot;void build(int &rt,int l,int r)
{rt=++tot;if(l==r)return tr[rt].val=a[l],void();int mid=l+r>>1;build(ls,l,mid);build(rs,mid+1,r);
}void update(int &rt,int old,int l,int r,int x,int k)
{rt=++tot;tr[rt]=tr[old];if(l==r)return tr[rt].val=k,void();int mid=l+r>>1;if(x<=mid) update(ls,tr[old].lc,l,mid,x,k);else update(rs,tr[old].rc,mid+1,r,x,k);
}int query(int rt,int l,int r,int x)
{if(l==r)return tr[rt].val;int mid=l+r>>1;if(x<=mid) return query(ls,l,mid,x);return query(rs,mid+1,r,x);
}signed main()
{scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);build(rts[0],1,n);for(int i=1,old,op,x,k;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&old,&op,&x);if(op==1){scanf("%d",&k);update(rts[i],rts[old],1,n,x,k);}elseprintf("%d\n",query(rts[i]=rts[old],1,n,x));}return 0;
}