信号与线性系统翻转课堂笔记19——连续/离散系统的零极点与稳定性

The Flipped Classroom19 of Signals and Linear Systems

对应教材：《信号与线性系统分析（第五版）》高等教育出版社，吴大正著

一、要点

（1）了解连续LTI系统的系统函数零极点对系统时域自由响应模态的影响；
（2）了解离散LTI系统的系统函数零极点对系统时域自由响应模态的影响；
（3，重点和难点）能熟练分析连续LTI系统的系统函数零极点分布对系统频率响应特性的影响；
（4）了解全通系统、最小相移系统的概念及其零极点分布的特点；
（5）了解LTI连续、离散系统为因果系统的充要条件；
（6，重点）理解LTI连续、离散系统稳定的充要条件，能够利用充要条件分析系统的稳定性。

二、问题与解答

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（*2）总结连续LTI系统的系统函数极点在s平面的分布特点对系统幅频响应的影响。在此基础上完成习题7.8（可以用MATLAB画幅频响应曲线）。

（*3）设模拟信号为f(t)=cos⁡( 200πt)+sin⁡( 800πt)+cos⁡( 1000πt)，想要设计一个连续系统（滤波器），把该信号中角频率为800π的分量滤除掉，另外两个分量保留，如何设置系统函数的零点和极点比较合理？为什么？
（4）全通系统和最小相移系统零极点的分布具有什么特点？分别分析它们为什么会具有全通特性或者最小相移特性。如果一个LTI连续系统的极点都在s右半平面，而零点都在s左半平面，且它们关于虚轴一一镜像对称，该系统是否为全通系统？为什么？
（*5）讨论：①对于连续LTI系统稳定的充要条件有两个表述：一个是“系统冲激响应绝对可积”，另一个是“系统函数的所有极点位于s左半开平面”。这两个充要条件的内涵是否一致？如果不一致，它们之间有何区别？在何种条件下，它们是一致的？ ②一个离散LTI系统的极点都在单位圆以内，这个系统在什么情况下不稳定？为什么？
（*6）求解习题7.18、7.19。
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1、模拟信号的离散化

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T为取样周期。
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对于z平面的负实轴
|z|<1,映射到s平面的第二象限
|z|=1,映射到s平面的jω正半轴上
|z|>1,映射到s平面的第一象限

π对应1/2模拟采样频率，不存在大于π的数字频率。
对于单边正弦信号 ,以T=1/8采样并离散化,得到离散信号f(k),则f(k)的z变换F(z)所在z平面的负实轴对应的模拟频率是采样频率的一半即就是4Hz。

2、连续LTI系统函数极点对幅频响应的影响

总结连续LTI系统的系统函数极点在s平面的分布特点对系统幅频响应的影响。在此基础上完成习题7.8（可以用MATLAB画幅频响应曲线）。
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3、设计滤波器滤除特定频率分量

设模拟信号为f(t)=cos⁡(200πt)+sin⁡(800πt)+cos⁡(1000πt)，想要设计一个连续系统（滤波器），把该信号中角频率为800π的分量滤除掉，另外两个分量保留，如何设置系统函数的零点和极点比较合理？为什么？

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4、全通系统和最小相移系统

全通系统和最小相移系统零极点的分布具有什么特点？分别分析它们为什么会具有全通特性或者最小相移特性。如果一个LTI连续系统的极点都在s右半平面，而零点都在s左半平面，且它们关于虚轴一一镜像对称，该系统是否为全通系统？为什么？

①
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全通系统的零、极点分布特点:
1.极点位于左半平面；
2.零点位于右半平面；
3.零点与极点对于虚轴互为镜像。

最小相移系统的零、极点分布特点:
1.极点位于左半平面；
2.系统函数的所有零点均位于左半平面（含虚轴）；
3.不同相频特性系统的零点对于虚轴互为镜像。
②分析：
全通系统零点与极点镜像可以使它们到同一频率点的模相同。
最小相移系统（零点与频率点的相角和-极点与频率点的相角和）影响相移特性，零点均位于左半平面使得零点与频率点的相角和最小。
③不是全通系统，全通系统极点位于左半平面;零点位于右半平面;当极点在右半平面，系统是不稳定的。

5、系统稳定的条件

讨论：①对于连续LTI系统稳定的充要条件有两个表述：一个是“系统冲激响应绝对可积”，另一个是“系统函数的所有极点位于s左半开平面”。这两个充要条件的内涵是否一致？如果不一致，它们之间有何区别？在何种条件下，它们是一致的？ ②一个离散LTI系统的极点都在单位圆以内，这个系统在什么情况下不稳定？为什么？

①不一致。
“系统冲激响应绝对可积”含义为对于任意的有界输入，系统的零状态响应有界。
“系统函数的所有极点位于s左半开平面”含义为连续LTI系统为因果系统，因为所有极点位于s左半开平面，所以系统冲激响应为衰减的，就会满足绝对可积条件，系统稳定。
“系统冲激响应绝对可积”与“系统函数的所有极点位于s左半开平面”在系统为因果系统时内涵是一致的。
②非因果系统不稳定。在序列指数衰减，绝对可积，但在左半平面影响下，系统不稳定。