矢量平移和测地线

1、矢量的平移 

我们在三维欧氏空间中(即在流形上讨论问题)时说过，矢量的加法应满足平行四边形法则。但是在矢量求和时，我们要先把两个矢量的端点平移到同一个位置。这是因为流形上两个不同的点有两个矢量空间，而矢量的加法只定义在同一个矢量空间内。对于不同的矢量空间中的元素，并不存在加法的定义。因此，当我们要计算流形上两点不同矢量空间矢量的求和时(或是内积等一切矢量运算)，需要先把一个矢量“平移”到另一个矢量空间中。

这样就自然涉及到一个问题：如何将一个矢量平移到另一个矢量空间中？或者说，这两个矢量空间如何联系起来？最直接的方法当然是给出两个矢量空间的一一对应映射，但这个映射的定义并不显然(存在不止一个的一一对应)。我们再回到熟悉的欧氏空间中看看如何平移矢量。看起来平移矢量是任意的，但实际上，平移矢量可以看做这样一个过程：在空间中定义一个矢量场，当我们需要将矢量从A点平移到B点时，实际上就是这个矢量场中，从A点(沿某条曲线)到B点的每一个矢量相等，这样，在B点的矢量就是将矢量就是将矢量从vA平移到vB的结果。