上篇博文我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系，简单地说，DFT就是DFS在一个周期内的表现。

为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式(分析公式)：

                                                                                                        (1)

其中：

综合公式：

                                                                                              (2)

为了对比，给出DFT的分析公式：

                                                         (3)

                                                                                                      (4)

综合公式：

                                                                                                          (5)

                                                                                              (6)

下面讨论DFS和 z 变换之间的关系：

设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，

                                                                                                          (7)

那么，能求它的 z 变换为：

                                                                                                                                     (8)

现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列

，即

                                                                                                                  (9)

 的DFS给出为：

                                                                                           (10)

将(10)式与 z 正变换公式(8)比较后，得到：

                                                                                                                                    (11)

这就是说，DFS

代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

接着讨论DFS和DTFT的关系。

我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：

先给出DTFT的公式：

                                                                                                 (12)

对比z变换的公式(8)，不难看出：

                                                                                                                                     (13)

为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。

从(13)式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。

上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS

代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS

是对DTFT 

上的等间隔采样。采样间隔为

，下面我们正式推导二者间的关系。

式(12)为:

DFS为：

可以看出，

                                                                                                                                                 (14)

令

                                                                                                                                    (15)

这样，

                                                                                                                               (16)

这意味着 DFS 可以通过以

为间隔对DTFT均匀采样而得到。

由式子(13)：

以及式子(14)：

可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。

间隔

 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。

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