浅析BCH码的编码方法

浅析BCH码的编码方法0 引言数字信号在传输系统中传输时，不免会受到各种因素的干扰，使到达接收端的数字信号中混有噪声，从而引发错误判决。为了抗击传输过程中的干扰，必然要利用纠错码的差错控制技术。BCH码是纠错码中最重要的子类，其具有纠错能力强，构造方便，编码简单，译码也较易实现一系列优点，在实际应用中被工程人员广泛应用。1 BCH码BCH码是1959年由霍昆格姆(Hocquenghem), 1960年由博斯(Bose)和查德胡里(Chandhari)各自提出的纠多个随机错误的循环码，这是迄今为止发现的最好的线性分组码之一，它有严格的代数结构，它的纠错能力很强，特别是在短和中等码长下，其性能接近理论值，并且构造方便编码简单，特别是它具有严格的代数结构，因此它在编码理论中起着重要的作用。BCH码是迄今为止研究的最为详尽，分析得最为透彻，取得成果也最多的码类之一。该码的生成多项式与最小距离d之间有密切关系，根据d的要求可以很容易地构造出码，利用该码的代数结构产生了多种译码方法。BCH码可以采用查表编码方法，这是一种利用BCH码作为线性分组码和循环码的性质和结构特点来编写编码表，然后通过查表来编码的一种方法，也可以采用编码器进行编码，还可以应用代数算法，在本文将分别介绍这些算法。2 BCH码的级编码器 BCH码是一类循环码，它的编码方法和传统的循环码完全相同，根据循环码的生成多项式或校验多项式，可推出BCH码的编码电路是一个级或级移存器电路，在k>n-k时，一般采用级编码电路。用于产生系统码级编码器的原理这样的：将信息多项式乘以成为，然后用除得到余式, 的系数就是校验位，因此这可以根据生成多项式反馈连接的移位寄存器构成的除法电路完成。见图1。符号表示一个二进制移位寄存器，符号表示模2加法器，符号若=1，表示连线，若=0，表示断开(对二进制而言)。从图1可以看出，该n-k级移位寄存器编码电路的硬件主要包括:1、级移位寄存器(譬如个触发器)，2、大约个模2加法器，3、反馈连接中的门电路，4、一个控制输出开关和反馈连接门的时钟计数电路，可由级移位寄存器构成(是使的最小整数)。图1 移位寄存器编码电路3 BCH码的代数编码(1)共轭和最小多项式如果将看成是的一个阶扩展，则映射称为共轭。共轭是线性的，即 (1)的共轭类是序列中取值不同的元素。因此，如果是满足的最小整数，则的共轭类是包括。这里是称为的阶数；由此可知是的因子，并且，而不能属于其他任何一个更小的域。的最小多项式为系数属于、阶数最低、首项系数为1且满足的多项式。在上是不可约的，但在更大的域中，可以进行线性因式分解： (2)如果是中的一个本原根，则的最小多项式称为上的本原多项式。利用本原多项式可以来构造域，通过查表可以发现是上的一个本原多项式。即是中一个本原根的最小多项式。通过反复利用等式，可以将每个幂表示为的一个次数的多项式。例如:,可以得出表(1)：表(1) 将表示为的幂，其中00001100102010031000400115011061100710118010191010100111111110121111131101141001同理：是上一个本原根的最小多项式。反复应用等式，可以将每个幂表示为的一个次数的多项式。例如：，可以得出表(2)：表(2) 中的幂，其中0001101021003011411051116101(2)BCH码生成多项式的求法每个BCH码都以它的生成多项式为特征。根据生成多项式的定义知道是码中次数最低的码多项式，即满足的最低次多项式。的系数在中，但是不同次数的幂在更大的域中。根据BCH码的定义，若以中的元素为根，且 (3)其中分别为在上的最小多项式。在上是不可约多项式，但是在更大的域中可以分解为： (4)因此,是的子集在上的最小多项式的乘积。所以，如果定义中元素的共轭为，那么可以表示为： (5)即上述文字可以用如下结论总结:结论一：码长为的纠正个错误的BCH码，生成多项式由式(1)给出。而码的维数为，即，其中是中的-共轭的集合。(3)利用归纳法验证结论一所描述的求生成多项式方法的正确性可以通过查表的方法来验证所求的生成多项式是否正确。表一给出了的二进制本原BCH码表，可以根据此表查出码长为，纠正个错误的BCH码的生成多项式。表一n≤31的二进制本原BCH码表(八进制表示)74113151112315727211553246731261453121235513116310765731115542332531673133650473126175312122303311631352