【学习笔记】MOOC 数学文化赏析笔记

文章目录

- - 一. 笔记
  - - - 1）各种知识点
      - 2）数集
      - 3）几何
      - 4）幻方
      - 5）难题、猜想与定理
  - 二. 典中典题目：

临时学习整理，欢迎各位大佬留言补充～（比如数集、幻方等部分比较贫瘠= =）

一. 笔记

1）各种知识点

数学关注本质、共性、规律和联系
结构：

代数结构：“合作”，运算 & 运算规律。解决计算问题

顺序结构：对比，大小、先后、隶属。解决比较问题

拓扑结构：亲疏 & 规模大小的距离。解决度量问题
数学从结论（公理）出发，采用逻辑演绎（三段论）的方法，推出新结论（公式，定理）
公理不能相互矛盾（相容性，和谐），不能相互包容（独立性，简洁）。做不到完备性
数学结论只承认演绎推理。合情推理找方向；演绎推理定结论。演绎推理所得结论必须是新的、有意义的。
思考方法

分类研究：按属性分类，逐一研究。化整为零，积零为整

类比方法：通过一个个体，认识到另一个个体

归纳方法：通过一个群体中的若干个体，认识整个群体。通过个性发现共性。

化归方法：把问题进行变化、转换成某个已解决或较易解决的问题去研究。
特点：概念的抽象性、推理的严密性、结论的确定性、应用的广泛性。
地位：基础性、普适性、可靠性
功能：实用、教育、语言、文化
历史：

初等数学（常量数学）&& 古代数学：17世纪以前的数学

变量数学：17 - 19世纪；笛卡尔建立解析几何（起点）；牛顿 & 莱布尼兹建立微积分（标志）

近代数学：19世纪的数学，三大特点：分析严密化、代数抽象化、几何非欧化

四次以上方程没有根式解

现代数学：20世纪的数学，一大基础，三大趋势，六大特征
几何：发源（欧几里得几何），划时代发展（坐标几何），（射影几何），（向量几何），（非欧几何），（微分几何）
发散性思维：归纳、类比、关联、辐射、迁移、空间想象等

收敛性思维：可靠的推理方法，有有限穷举法、数学归纳法、反证法等
任意 n 边形的外角和都是 360 度
对称性：轴对称、中心对称（旋转或反射不变）、旋转对称（旋转一定角度不变）
不动点定理：地球点无风、地图地面一致、指纹
任何凸n边形的外角和都是360度。

平面上 f - e + v = 1 （区域数f，线段数 e，顶点数 v）

空间上 f - e + v = 2（欧拉定理）
随机现象的单个出现无规律，但大量出现就呈稳定的规律性
黄金分割：黄金矩形、黄金三角形、斐波那契数列
多边形填补：正三角形，正方形，正六边形
鸽笼：

367人存在同日生日

105人存在同性别、生日同星期

聚会，两个人的在场朋友数一样多

2）数集

可数集：自然数、有理数、代数数
代数数：整系数代数多项式的根，其中有理数是整系数一次多项式的根
康托定理：对任意集合M，总有 |P(M)| > |M|，也就是P(M)和M不能建立一一对应关系
实数集和自然数集的幂集可以建立一一对应的关系
无理数、超越数、全体实数、区间中的实数、直线上的点、平面上的点、n维空间中的点都是与实数一一对应的，有阿列夫0 个

有理数：有限小数 or 无限循环小数

最小的数域，任一数域必须包含有理数集。

数轴上稠密，所占长度为0

可数，和自然数一样多。
可数集：可以排成一列，或可以一个个数下去的无限集合。

一个可数集合，并入无数个可数集后，还是可数集。
实数集：

连续，在数轴上没有缝隙

不可数
代数集：

可数
超越数：构成实数集不可数的原因。

刘维尔数：最早，L = 0.11000100000…

Pi，e，光速，万有引力常数等

3）几何

欧几里得几何：

五条公设：第五，一直线与两直线相交，且同侧所交两内角和小于180度，则两直线无限延长后必然交于一点
非欧几何：黎曼几何 && 罗巴切夫斯基几何，对比：见课本p157
- 罗：小于180，面积角欠反比，平行线距离大，不存在矩形和相似形
- 黎：大于180，面积角余正比，平行线距离小，不存在矩形和相似性
- 总结：罗小，角欠反比，大，不存在；黎大，角余正比，小，不存在

重大意义：解决了平行公理的独立性问题，预示了相对论的产生

4）幻方

幻方：行列对角线和都相等。

标准幻方：各数都是1 ～ n^2 的连续自然数，幻和为：n(n^2 + 1)/2

奇数阶幻方：

偶数阶幻方：双偶阶幻方（阶为4的倍数），单偶阶幻方

双重幻方/平方幻方：各数换成平方后还是幻方

乘积幻方/和积幻方：幻方的行列对角线积也相等

存在性：2阶不存在，3阶1种，4阶880种…
幻方构造：

一般偶数阶中心对称变换：1 ～ 16 从上到下，从左到右填上。双对角线不变，其他中心对称变换

奇数阶的杨辉构造法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺进

奇数阶的劳伯尔构造法：顶中为1，右上加，出则循，有则原下

已知构未知：每个元素都加、乘同一个正整数；或者每行、每列、每条对角线上各选一个加上一个正整数；或两个幻方进行加or减
悖论：不可避免，可以解决

三次数学危机：无理数的发现、微积分的诞生（无穷小量）、康托的集合论

5）难题、猜想与定理

三大作图难题：不可能用尺规作图实现

化圆为方、倍立方体、三等分任意角
费马大定理：方程 x^n + y^n = z^n (n >= 3 ) 没有正整数解。20世纪怀尔斯证明
哥德巴赫猜想：还未证明
四色猜想：机器证明
庞加莱猜想：已经证明
拓扑学：流形。判断相同，关键在于结构：如果可通过拉伸、压缩等方式变化成另一个流形，则被认为本质一样。
黎曼猜想：未证明
七桥问题，对应一笔画定理：一笔画充要条件是 图连通，奇点个数为0或2；

2时一奇点为起点，另一为终点；0时任一顶点都是起点and终点。
可以考察一笔画图形构造，整明白奇点和一笔画定理就行。举例：五角星

二. 典中典题目：

将斐波那契数列的每一项被8除得到的余数作为一个新数列，则这个新数列一定是一个循环（周期）数列。

正确，为：1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0为一组.12个数为一组。由 [x] = [x - 1] + [x - 2] =》[x] % n =( [x - 1] % n + [x - 2] % n) % n 得出
派对中一定有两个人的共同朋友数一样。

鸽笼原理。设派对 n 个人，那么共同朋友取值范围 [1, n - 1] 一共 n - 1 个选项。那么肯定至少两个人朋友数一样
扑克牌，分4叠，抽余数，放到下一叠。求第四叠的余数

其实就是余数转移，最后变成求原总点数的余数即可。
取石子：

情况一：一次拿1～2颗，最后取完者为胜

1）一堆：留3的倍数为胜利。（后手，每次保证和前一次构成3）

2）两堆：留下两堆石子数除以3所得余数相同。（化归，当一堆取完后（余数0），另一堆也余数0，也就是3的倍数，成情况1）

3）任意堆：除3所得余数相同的石子堆成对出现即可。（化归成1 && 2）

情况二：一次一堆中任意颗。

1）一堆：一步到位

2）两堆：留下的两堆，石子数相同即可

3）任意多：偶数同2）

奇数：(1, 2k, 2k + 1)

(2, 4m, 4m + 2), (2, 4m + 1, 4m + 3),

(3, 4m, 4m + 3), (3, 4m + 1, 4m + 2)

(4, 8m, 8m + 4), (4, 8m + 1, 8m + 5), (4, 8m + 2, 8m + 6), (4, 8m + 3, 8m + 7)；
这里得背
扑克牌魔术：五张牌取一张，由剩下四张判断取出的一张（详细见课本207）
- 花色确定：鸽笼原理，五张牌一定有两张同花色；取出一张，另一张放在首位。
- 点数判断：首先用剩下三张，摆出1 ~ 6的数字：小中大 = 1，小大中 = 2 以此类推。
- 最后按照首位牌点数，和上面摆出的1~6获取实际点数：同花m, n (m < n)
  - 若 n - m <= 6，则交n留m；3张牌摆出 n - m；（用 [n - m] + m 得出 n）
  - 若 n - m > 6，则交m留n；三张牌摆出 13 + m - n；（用 [13 + m - n] + n 得出 13 + m）
具体见课本207，大概思路是这样
RSA 编码：
- 原理:破解密码需要分解大数，大数分解困难
- 密钥制作流程:
  - 先获取两个大素数p, q
  - 由此获取大数 N = p * q
  - 接着选取一个与(p - 1)、(q - q) 互素的数 n
  - 然后选取m，满足 mn - 1 = k(p - 1)(q - 1)，k 为倍数
  - 公开密钥 N && n
- 密钥使用：
  - 加密：用 N 和 n，比如明文 x，加密成 y = (x ^ n) % N。
  - 解密：用 N 和 m，比如解密上面的y，就是 x’ = (y ^ m) % N
- 具体例子见课本 p228