1. 题目

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。

请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为$O(log(m+n))$。

你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
则中位数是 2.0示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays
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2. 解题

2.1 合并数组

• 合并两个数组，再取中位数
• 时间和空间复杂度均为 O(m+n)

class Solution {
public:double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {int n1 = nums1.size(), n2 = nums2.size(), len;len = n1 + n2;vector<int> nv(len);int i = 0, j = 0, k = 0;while(i < n1 && j < n2){if(nums1[i] < nums2[j])nv[k++] = nums1[i++];elsenv[k++] = nums2[j++];}if(i == n1){while(j < n2)nv[k++] = nums2[j++];}else{while(i < n1)nv[k++] = nums1[i++];}if(len%2)return nv[len/2];return (nv[len/2]+nv[len/2-1])/2.0;}
};

2.2 优化2.1解法，双指针

• 不合并两个数组，设置双指针在两个数组上
• 比较大小，分别移动各自的指针，遍历到中间的计数停止
• 时间复杂度 O(m+n)，空间复杂度 O(1)

class Solution {
public:double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {int n1 = nums1.size(), n2 = nums2.size(), len;len = n1 + n2;vector<int> nv(len);int i = 0, j = 0, k, left = -1, right = -1;for(k = 0; k <= len/2; ++k){left = right;if(i < n1 && (j >= n2 || nums1[i] < nums2[j]))right = nums1[i++];elseright = nums2[j++];}if(len%2)return right;return (left+right)/2.0;        }
};

2.3 二分法（找第k个数）

参考链接，解法3

class Solution {
public:double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {int n1 = nums1.size(), n2 = nums2.size(), len, kth;len = n1 + n2;kth = (len+1)/2;if(len%2)return findKth(nums1,0,n1-1,nums2,0,n2-1,kth);return (findKth(nums1,0,n1-1,nums2,0,n2-1,kth)+findKth(nums1,0,n1-1,nums2,0,n2-1,kth+1))/2.0;      }int findKth(vector<int>& nums1, int s1, int e1, vector<int>& nums2, int s2, int e2, int kth){int len1 = e1-s1+1;int len2 = e2-s2+1;if(len1 > len2)	//确保传进来的参数len1是较短的数组(它先空)return findKth(nums2,s2,e2,nums1,s1,e1,kth);if(len1 == 0)return nums2[s2+kth-1];//一个为空，直接找到答案if(kth == 1)return min(nums1[s1],nums2[s2]);int i = s1+min(len1,kth/2)-1;//min使得指针不会越界int j = s2+min(len2,kth/2)-1;if(nums1[i] > nums2[j])//舍去nums2前面的return findKth(nums1,s1,e1,nums2,j+1,e2,kth-(j-s2+1));else//舍去nums1前面的return findKth(nums1,i+1,e1,nums2,s2,e2,kth-(i-s1+1));}
};

$O(lg(m+n))$时间复杂度，尾递归，无需堆栈，空间复杂度 $O(1)$

2.4 切分法

• 放了方便处理，确保A数组长度较短
• 初始状态下mid1取数组1的中间，mid1,mid2左半边的总个数 == 右半边 或者 比右半边少1
• 对mid1进行二分查找，相应的mid2会随动（$mid2=allHalf-mid1$）
• 如果 $lmax1<=rmin2,andlmax2<=rmin1$ , 成功找到分界线
• 则 $Lmax=max(lmax1,lmax2))$, $Rmin=min(rmin1,rmin2)$，总个数为奇数返回$Rmin$, 偶数返回$(Lmax+Rmin)/2.0$
  

class Solution {
public:double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {int n1 = nums1.size(), n2 = nums2.size();if(n1 > n2)//确保n1是较短的数组return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);int left = 0, right = n1, allHalf = (n1+n2)/2, mid1, mid2;int lmax1, rmin1, lmax2, rmin2;while(left <= right){mid1 = left+((right-left)>>1);mid2 = allHalf - mid1;lmax1 = (mid1-1 >= 0) ? nums1[mid1-1] : INT_MIN;rmin1 = (mid1 < n1) ? nums1[mid1] : INT_MAX;lmax2 = (mid2-1 >= 0) ? nums2[mid2-1] : INT_MIN;rmin2 = (mid2 < n2) ? nums2[mid2] : INT_MAX;//在边界处，认为没有元素，设置成最大或者最小，保证下面关系式成立if(lmax1 > rmin2)right = mid1-1;else if(lmax2 > rmin1)left = mid1+1;else{left = right = mid1;break;}}int i = left, j = allHalf-left;int l = max(i-1 >= 0 ? nums1[i-1] : INT_MIN,j-1 >= 0 ? nums2[j-1] : INT_MIN);int r = min(i < n1 ? nums1[i] : INT_MAX,j < n2 ? nums2[j] : INT_MAX);if((n1+n2)%2 == 1)return r;return (l+r)/2.0;}  
};