1. 前言

数字图片在计算机中是以矩阵形式存储的。所以可以通过矩阵理论和矩阵算法对数字图像进行分析和处理。本文通过对图片进行SVD压缩，对不同的参数下的压缩效果进行对比。

SVD概念可以参考：《统计学习方法》–奇异值分解（Singular Value Decomposition，SVD）

2. 原理简介

彩色图片有3个图层，RGB（红、绿、蓝）也就是矩阵的一个位置上存储了3个基色的数值，由3个基色混合成不同的色彩。

通过对3个图层矩阵，分别进行SVD近似，SVD奇异值是唯一的，可以取前 k 个最大的奇异值进行近似表达，最后再将3个图层的矩阵数据合并，用较少的数据去表达图片。

2.1 SVD定义

$$\begin{gathered} A_{m\times n}=U\Sigma V^T \\ U{U}^T=I_m \\ V{V}^T=I_n \\ \Sigma =diag({\sigma }_1,{\sigma }_2,...,{\sigma }_p) \\ {\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge ...\ge {\sigma }_p\ge 0 \\ p=\min (m,n) \end{gathered}$$

• $U\Sigma V^T$ 称为矩阵 $A$ 的奇异值分解（SVD），$U$ 是 $m$ 阶正交矩阵， $V$ 是 $n$ 阶正交矩阵，$\Sigma$ 是 $m\times n$ 的对角矩阵
• ${\sigma }_i$ 称为矩阵 $A$ 的奇异值
• $U$ 的列向量，左奇异向量
• $V$ 的列向量，右奇异向量

$$Dat{a}_{m\times n}\approx U[:,0:k]\Sigma [0:k,0:k]V^T[0:k,:]$$

3. 实践代码

# -*- coding:utf-8 -*-
# @Python Version: 3.7
# @Time: 2020/4/21 23:38
# @Author: Michael Ming
# @Website: https://michael.blog.csdn.net/
# @File: 15.svd_pic_compress.py
# @Reference: https://blog.csdn.net/weixin_44344462/article/details/89401727import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltdef zip_img_by_svd(img, plotId, rate=0.8):zip_img = np.zeros(img.shape)u_shape = 0sigma_shape = 0vT_shape = 0for chanel in range(3):  # 3个图层u, sigma, v = np.linalg.svd(img[:, :, chanel])  # numpy svd函数sigma_i = 0temp = 0while (temp / np.sum(sigma)) < rate:  # 选取的奇异值和需要达到设定的权重temp += sigma[sigma_i]sigma_i += 1SigmaMat = np.zeros((sigma_i, sigma_i))  # 选取了sigma_i 最大的奇异值for i in range(sigma_i):SigmaMat[i, i] = sigma[i]  # 将奇异值填充到Sigma对角矩阵zip_img[:, :, chanel] = u[:, 0:sigma_i].dot(SigmaMat).dot(v[0:sigma_i, :])# 将分解得到的3个矩阵相乘，得到压缩后的近似矩阵u_shape = u[:, 0:sigma_i].shapesigma_shape = SigmaMat.shapevT_shape = v[0:sigma_i, :].shapefor i in range(3):  # 对三个通道的矩阵数值进行归一化处理MAX = np.max(zip_img[:, :, i])MIN = np.min(zip_img[:, :, i])zip_img[:, :, i] = (zip_img[:, :, i] - MIN) / (MAX - MIN)zip_img = np.round(zip_img * 255).astype("uint8")# 不乘255图片是黑的（接近0,0,0），数据类型uint8plt.imsave("zip_svd_img.jpg", zip_img)  # 保存压缩后的图片zip_rate = (img.size - 3 * (u_shape[0] * u_shape[1] + sigma_shape[0] * sigma_shape[1] + vT_shape[0] * vT_shape[1])) / (zip_img.size)f = plt.subplot(3, 3, plotId)f.imshow(zip_img)f.set_title("SVD压缩率 %.4f,奇异值数量：%d" % (zip_rate, sigma_i))print("设置的压缩率：", rate)print("使用的奇异值数量：", sigma_i)print("原始图片大小：", img.shape)print("压缩后用到的矩阵大小：3x({}+{}+{})".format(u_shape, sigma_shape, vT_shape))print("压缩率为：", zip_rate)if __name__ == '__main__':imgfile = "svd_img.jpg"plt.figure(figsize=(12, 12))plt.rcParams['font.sans-serif'] = 'SimHei'  # 消除中文乱码img = plt.imread(imgfile)f1 = plt.subplot(331)  # 绘制子图，3行3列，3*3个子图，现在画第1幅f1.imshow(img)f1.set_title("原始图片")for i in range(8):  # 再画8个子图rate = (i + 1) / 10.0  # 压缩率 10% - 80%zip_img_by_svd(img, i + 2, rate)plt.suptitle('图片SVD效果对比', fontsize=17, y=0.02)  # y偏移距离plt.show()

• 可以看出在使用128个奇异值的SVD压缩情况下，就可以得到跟原图差不多效果的图片
• 原图是703x800的尺寸，SVD使用的矩阵 ((703, 128)+(128, 128)+(128, 800))=208768
• 可以少使用的矩阵数据比例为（703*800*3-208768*3）/（703*800*3）= 62.88%
• 可以只用37.12%的数据量去近似表达原始图片，是不是很酷！！！
• 在网络传输图片的过程中，终端用户可能点击，也可能不点击，那我都给他们发送SVD后的图片矩阵数据（减少了当次传输数据量），然后在终端进行矩阵运算得到压缩后的图片，当用户点击图片后，再进行传输原图片（1、用户点击是分散的，可以降低统一发送原图的网络拥挤现象；2、有的用户也不会点击，就避免了传输原图，达到了压缩的目的，节省流量）
• 微信收到的图片、小米手机云相册的缩略图等都可能用到类似的技术来节省空间

我是外行，自己想的结论，不对的地方，请大佬指点，感谢！

4. 参考文献

本文参考了以下两篇文章，对作者表示感谢！

• 利用SVD进行图像压缩（附Python代码）
• 用SVD压缩图像