1. 题目

给你一个整数数组 arr 和一个目标值 target ，请你返回一个整数 value ，
使得将数组中所有大于 value 的值变成 value 后，数组的和 最接近 target （最接近表示两者之差的绝对值最小）。

如果有多种使得和最接近 target 的方案，请你返回这些整数中的最小值。

请注意，答案不一定是 arr 中的数字。

示例 1：
输入：arr = [4,9,3], target = 10
输出：3
解释：当选择 value 为 3 时，数组会变成 [3, 3, 3]，和为 9 ，
这是最接近 target 的方案。示例 2：
输入：arr = [2,3,5], target = 10
输出：5示例 3：
输入：arr = [60864,25176,27249,21296,20204], target = 56803
输出：11361提示：
1 <= arr.length <= 10^4
1 <= arr[i], target <= 10^5

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/sum-of-mutated-array-closest-to-target
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2. 解题

• 先将数组排序，求出前缀和
• 要找的这个数ans上下限 [0, arr_max]
• 如果这个数ans比0还小，数组所有的数将变成ans，target > 0，不会更接近
• 如果这个数ans比数组最大的还大，数组所有的数不变，跟target的差，也不变，但题目要求最小的ans，所以ans的范围是 [0, arr_max]
• 现在需要证明，数组的和与target的单调性：
  假设选取的数为 v2, a[i-1] <= v2 < a[i]
  此时，$a[0]+a[1]+...+a[i-1]+v2+...+v2(n-i个)-target-式1$
  再次选择数 v1，a[i-1] <= v1 < v2
  此时，$a[0]+a[1]+...+a[i-1]+v1+...+v1(n-i个)-target-式2$
  上下做差：式1-式2 = $(v2-v1)\ast (n-i)>=0$
  选择数 v1，v1 < a[i-1] < v2
  此时，$a[0]+a[1]+...+a[i-2]+v1+...+v1(n-i+1个)-target-式3$
  上下做差：式1-式3 = $a[i-1]-v1+(v2-v1)\ast (n-i)>=0$
  所以上式是单调递增的！可以进行二分查找

class Solution {
public:int findBestValue(vector<int>& arr, int target) {int i, l, r, mid, idx, diff, mindiff = INT_MAX, n = arr.size(), ans=INT_MAX;sort(arr.begin(),arr.end());vector<int> presum(arr);for(i = 1; i < n; ++i)presum[i] += presum[i-1];//前缀和l = 0, r = arr[n-1];//范围while(l <= r){mid = l+((r-l)>>1);idx = binsearch(arr, mid);//二分查找mid这个值在数组中的位置diff = (idx>0? presum[idx-1] : 0) +(n-idx)*mid-target;//函数式的值，函数单调递增if(abs(diff) < mindiff){mindiff = abs(diff);ans = mid;//有更小的}else if((abs(diff) == mindiff))ans = min(ans,mid);//相等的情况下取更小的if(diff < 0)//小了，要让他增大，在0左右寻找l = mid+1;else if(diff > 0)r = mid-1;elsereturn ans;}return ans;}int binsearch(vector<int>& arr, int val){	//找第一个大于val的数的下标int l = 0, r = arr.size()-1, mid;while(l <= r){mid = l+((r-l)>>1);if(arr[mid] > val){if(mid==0 || arr[mid-1] <= val)return mid;elser = mid-1;}elsel = mid+1;}return arr.size();//没找到，全部小于val}
};