排序(Sorting) 是计算机程序设计中的一种重要操作，它的功能是将一个数据元素(或记录)的任意序列，重新排列成一个关键字有序的序列。
我整理了以前自己所写的一些排序算法结合网上的一些资料，共介绍8种常用的排序算法，希望对大家能有所帮助。

八种排序算法分别是：
1.冒泡排序；
2.选择排序；
3.插入排序；
4.快速排序；
5.归并排序；
6.希尔排序；
7.二叉排序；
8.计数排序；

其中快排尤为重要，几乎可以说IT开发类面试必考内容，而希尔排序和归并排序的思想也非常重要。下面将各个排序算法的排序原理，代码实现和时间复杂度一一介绍。

—，最基础的排序——冒泡排序
冒泡排序是许多人最早接触的排序算法，由于逻辑简单，所以大量的出现在计算机基础课本上，作为一种最基本的排序算法被大家所熟知。

设无序数组a[]长度为N，以由小到大排序为例。冒泡的原理是这样的：
1.比较相邻的前两个数据，如果前面的数据a[0]大于后面的数据a[1] (为了稳定性，等于不交换)，就将前面两个数据进行交换。在将计数器 i ++;
2.当遍历完N个数据一遍后，最大的数据就会沉底在数组最后a[N-1]。
3.然后N=N-1；再次进行遍历排序将第二大的数据沉到倒数第二位置上a[N-2]。再次重复，直到N=0；将所有数据排列完毕。

无序数组：  2 5 4 7 1 6 8 3 
遍历1次后： 2 4 5 1 6 7 3 8
遍历2次后： 2 4 1 5 6 3 7 8
...
遍历7次后： 1 2 3 4 5 6 7 8 

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可以轻易的得出，冒泡在 N– 到 0 为止，每遍近似遍历了N个数据。所以冒泡的时间复杂度是 -O(N^2)。

按照定义实现代码如下：

void BubbleSore(int *array, int n)
{   int i = 0;int j = 0;int temp = 0;for(i = 0; i < n; ++i){ for(j = 1; j < n - i; ++j){if(array[j - 1] > array[j]){temp = array[j-1];array[j - 1] = array[j];array[j] = temp;}}}
}

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我们对可以对冒泡进行优化，循环时，当100个数据，仅前10个无序，发生了交换，后面没有交换说明有序且都大于前10个数据，那么以后循环遍历时，就不必对后面的90个数据进行遍历判断，只需每遍从0循环到10就行了。

void BubbleSore(int *array, int n) //优化
{   int i = n;int j = 0;int temp = 0;Boolean flag = TRUE; while(flag){flag = FALSE;  for(j = 1; j < i; ++j){if(array[j - 1] > array[j]){temp = array[j-1];array[j - 1] = array[j];array[j] = temp;flag = TRUE;}           }i--;}   
}

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虽然我们对冒泡进行了优化，但优化后的时间复杂度逻辑上还是-O(n^2)，所以说冒泡还是效率比较低下的，数据较大时，建议不要采用冒泡。

二，最易理解的排序——选择排序
如果让一个初学者写一个排序算法，很有可能写出的就是选择排序(反正我当时就是 ^.^)，因为选择排序甚至比冒泡更容易理解。

原理就是遍历一遍找到最小的，与第一个位置的数进行交换。再遍历一遍找到第二小的，与第二个位置的数进行交换。看起来比较像冒泡，但它不是相邻数据交换的。

无序数组：  2 5 4 7 1 6 8 3 
遍历1次后： 1 5 4 7 2 6 8 3 
遍历2次后： 1 2 4 7 5 6 8 3  
...
遍历7次后： 1 2 3 4 5 6 7 8 

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选择排序的时间复杂度也是 -O(N^2);

void Selectsort(int *array, int n)
{int i = 0;int j = 0;int min = 0;int temp = 0;    for(i; i < n; i++){min = i;for(j = i + 1; j < n; j++){if(array[min] > array[j])min = j;}temp = array[min];array[min] = array[i];array[i] = temp; }
}
#endif

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三，扑克牌法排序——插入排序
打牌时(以挖坑为例)我们一张张的摸牌，将摸到的牌插入手牌的”顺子”里,凑成更长的顺子，这就是插入排序的含义。

设无序数组a[]长度为N，以由小到大排序为例。插入的原理是这样的：
1.初始时，第一个数据a[0]自成有序数组，后面的a[1]~a[N-1]为无序数组。令 i = 1;
2.将第二个数据a[1]加入有序序列a[0]中，使a[0]~a[1]变为有序序列。i++;
3.重复循环第二步，直到将后面的所有无序数插入到前面的有序数列内，排序完成。

无序数组：  2 | 5 4 7 1 6 8 3 
遍历1次后： 2 5 | 4 7 1 6 8 3 
遍历2次后： 2 4 5 | 7 1 6 8 3 
遍历3次后： 2 4 5 7 | 1 6 8 3 
...

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插入排序的时间度仍然是-O(N^2)，但是，插入排序是一种比较快的排序，因为它每次都是和有序的数列进行比较插入，所以每次的比较很有”意义”，导致交换次数较少，所以插入排序在-O(N^2)级别的排序中是比较快的排序算法。

{int i = 0;int j = 0;int temp = 0;   for(i = 1; i < n; i++){if(array[i] < array[i-1]){temp = array[i]; for(j = i - 1; j >= 0 && array[j] > temp; j--){   array[j+1] = array[j];}array[j+1] = temp;}} 
}

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四，最快的排序——快速排序
我真的很敬佩设计出这个算法的大神，连起名字都这么霸气——Quick Sort。为什么这么自信的叫快速排序？因为已经被数学家证明出 在交换类排序算法中，快排是是速度最快的！
快排是C.R.A.Hoare于1962年提出的一种划分交换区的排序。它采用一种很重要的”分治法(Divide-and-ConquerMethod)”的思想。快排是一种很有实用价值的排序方法，很多IT公司在面试算法时几乎都会去问，所以快排是一定要掌握的。

快排的原理是这样的：
1. 先在无序的数组中取出一个数作为基数。
2. 将比基数小的数扔到基数的左边，成为一个区。将比基数大的数扔到基数的右边，成为另一个区。
3. 将左右两个区重复进行前两步操作，使数列变成四个区。
4. 重复操作，直到每个区里只有一个数时，排序完成。

快速排序初次接触比较难理解，我们可以把快排看做挖坑填数，具体操作如下：

数组下标： 0  1  2  3  4  5  6  7
无序数列： 4  2  5  7  1  6  8  3 

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初始时，left = 0; right = 7; 将第一个数设为基数 base = a[left];
由于将a[0]保存到base中，可以理解为在a[0]处挖了一个坑，可以将数据填入a[0]中。
从最右边right挨个开始找比base小的数。当right==7符合，则将a[7]挖出来填入a[0]的坑里面(a[0] = a[7])，所以又 形成了新坑a[7]，并且left ++。
再从左边left开始挨个找比base大的数(注意上一步left++)，当left == 2符合，就将a[2]挖出来填入a[7]位置处，并且right–。
现在数组变为：

数组下标： 0  1  2  3  4  5  6  7
无序数列： 3  2  5  7  1  6  8  5 

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重复以上步骤，左边挖的坑在右边找，右边找到比基数小的填到左边，左边++。右边的坑在左边找，找到比基数大的填在右边，右边–。
循环条件是left > right,当排序完后，将基数放在循环停止的位置，比基数小的都到了基数的左边，比基数大的都到了基数的右边。

数组下标： 0  1  2  3  4  5  6  7
无序数列： 3  2  1  4  7  6  8  5 

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再对0~2区间和4~7区间重复以上操作。直到分的区间只剩一个数，证明排序已经完成。

可以看出快排是将数组一分为二到底，需要log N次，再乘以每个区间的排序次数 N。所以时间复杂度为：-O(N * log N)。

void Quicksort(int *array, int l, int r)
{int i = 0;int j = 0;int x = 0;if(l < r){i = l;j = r;x = array[l];while(i < j){while(i < j && array[j] >= x){j--;}if(i < j){array[i++] = array[j];}    while(i < j && array[i] <= x){i++;}if(i < j){array[j--] = array[i];}}array[i] = x;Quicksort(array, l, i - 1);Quicksort(array, i + 1, r);}
}

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快排还有许多改进版本，如随机选择基数，区间内数据较少时直接用其他排序来减小递归的深度等等。快排现在仍是很多人研究的课题，有兴趣的同学可以深入的研究下。

五，分而治之——归并排序
归并排序是建立在归并操作上的一种优秀的算法，也是采用分治思想的典型例子。
我们知道将两个有序数列进行合并，是很快的，时间复杂度只有-O(N)。而归并就是采用这种操作，首先将有序数列一分二，二分四……直到每个区都只有一个数据，可以看做有序序列。然后进行合并，每次合并都是有序序列在合并，所以效率比较高。

无序数组：  2 5 4 7 1 6 8 3 
第一步拆分：2 5 4 7 | 1 6 8 3 
第二步拆分：2 5 | 4 7 | 1 6 | 8 3 
第三步拆分：2 | 5 | 4 | 7 | 1 | 6 | 8 | 3
第一步合并：2 5 | 4 7 | 1 6 | 3 8 
第二步合并：2 4 5 7 | 1 3 6 8 
第三步合并：1 2 3 4 5 6 7 

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可见归并排序的时间复杂度是拆分的步数 log N 乘以排序步数 N ，为-O(N * log N)。也是高级别的排序算法(-O(N ^ 2)为低级别)。

void Mergesort(int *array, int n)
{int *temp = NULL;if(array == NULL || n < 2)return;temp = (int *)Malloc(sizeof(int )*n);mergesort(array, 0, n - 1, temp);free(temp);
}void mergesort(int *array, int first, int last, int *temp)
{int mid = -1;if(first < last){mid = first + ((last - first) >> 1);mergesort(array, first, mid, temp);mergesort(array, mid+1, last, temp);mergearray(array, first, mid, last, temp); }
}void mergearray(int *array, int first, int mid, int last, int *temp)
{int i = first;int m = mid;int j = mid + 1;int n = last;int k = 0;while(i <= m && j <= n){if(array[i] <= array[j]){temp[k++] = array[i++];}else{temp[k++] = array[j++];}}while(i <= m){temp[k++] = array[i++];}while(j <= n){temp[k++] = array[j++];}memcpy(array + first, temp, sizeof(int) * k);
}

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由于要申请等同于原数组大小的临时数组，归并算法快速排序的同时也牺牲了N大小的空间。这是速率与空间不可调和矛盾，接触数据结构越多，越能发现这个道理，我们只能取速度与空间权衡点，不可能两者兼得。

六，缩小增量——希尔排序
希尔排序的实质就是分组插入排序，该方法又称为缩小增量排序，因DJ.Shell与1959年提出而得名。

该方法的基本思想是：先将整个待排序列分割成若干个子序列(由相隔某个”增量”的元素组成)分别进行插入排序，然后依次缩减增量再次进行排序，待整个序列中的元素基本有序时(增量足够小)，再对全体进行一次直接插入排序。因为直接插入排序在元素基本有序的情况下(接近最好情况)，效率是很高的。

无序数组：      2 5 4 7 1 6 8 3 
第一次gap=8/2   2A      1A5B       6B4C      8C7D      3D

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设第一次增量为N/2 = 4，即a[0]和a[4]插入排序，a[1]和a[5]插入排序，a[2]和a[6]，a[3]和a[7].字母相同代表在同一组进行排序。
排序完后变为：

一次增量：      1 5 4 3 2 6 8 7A B C D A B C D 

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缩小增量，gap=4/2。

一次增量：      1 5 4 3 2 6 8 7
第二次gap=4/2 ：1A  4A  2A  8A5B  3B  6B  7B

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第二次增量变为2，即a[0]，a[2]，a[4]，a[6]一组进行插入排序。a[1]，a[3]，a[5]，a[7]一组进行排序。结果为：

二次增量：      1 3 2 5 4 6 8 7

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第三次增量gap=1，直接进行选择排序。

三次增量：      1 2 3 4 5 6 7 8

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希尔排序的时间复杂度为-O(N * log N)，前提是使用最佳版本，后面有提到。

void Shellsort(int *array, int n)
{int i,j,k,temp,gap;for(gap = n/2; gap > 0; gap /= 2){for(i = 0; i < gap; i++){for(j = i + gap; j < n; j += gap){    for(k = j - gap; k >= i && array[k] > array[k+1]; k -= gap){temp = array[k+1];array[k+1] = array[k];array[k] = temp;}               }       }}
} 

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很显然，上面的Shell排序虽然对直观理解希尔排序有帮助，但代码过长循环过多，不够简洁清晰。因此进行一下改进和优化，在gap内部进行排序显然也能达到缩小增量排序的目的。

void Shellsort(int *array, int n)
{int i,j,k,temp;for(gap = n/2; gap > 0; gap /= 2){for(j = gap; j < n; j ++){if(array[j] < array[j-gap]){temp = array[j];k = j - gap;while(k >= 0 && array[k] > temp){array[k+gap] = array[k];k -= gap;}array[k+gap] = temp;}   }}
}

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希尔排序的缩小增量思想很重要，学习数据结构主要就是学习思想。我们上面排序的步长gap都是N/2开始，在进行减半，实际上还有更高效的步长选择，如果你有兴趣，可以去维基百科查看更多的步长算法推导。

七，集中数据的排序——计数排序
如果有这样的数列，其中元素种类并不多，只是元素个数多，请选择->计数排序。
比如一亿个1~100的整型数据，它出现的数据只有100种可能。这个时候计数排序非常的快(亲测，快排需要19秒，基数排序只需要不到1秒！)。

计数排序的思想是这样的：
1. 根据数据范围size(100)，malloc构造一个用于计算数据出现次数的数组,并将其初始化个数都置为0。
2. 遍历一遍，将出现的每个数据的次数记录于数组。
3. 再次遍历，按照顺序并根据数据出现的次数重现摆放，排序完成。

可见计数排序仅仅遍历了两遍。时间复杂度：-O(N) + -O(N) = -O(N)。

void count_sort(int *array, int length, int min, int max)
{int *count = NULL;int c_size = max - min + 1;int i = 0;int j = 0;count = (int *)Malloc(sizeof(int) * c_size);  bzero(count, sizeof(int) * c_size);   for(i = 0; i < length; ++i){count[array[i] - min]++;}               for(i = 0, j = 0; i < c_size;){if(count[i]){   array[j++] = i + min;count[i]--;}else{i++;} }free(count);
}

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计数排序虽然时间复杂度最小，速度最快。但是，限制条件是数据一定要比较集中，要是数据范围很大，程序可能会卡死。

八，构造树——二叉堆排序

堆排序与快速排序，归并排序一样都是时间复杂度为 O(N*logN)的几种常见排序方法。学习堆排序前，先讲解下什么是数据结构中的二叉堆。

二叉堆的定义：
二叉堆是完全二叉树或者是近似完全二叉树。

二叉堆满足二个特性：
1．父结点的键值总是大于或等于（小于或等于）任何一个子节点的键值。
2．每个结点的左子树和右子树都是一个二叉堆（都是最大堆或最小堆）。

当父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值时为最大堆。当父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值时为最小堆。下图展示一个最小堆：

由于其它几种堆（二项式堆，斐波纳契堆等）用的较少，一般将二叉堆就简称为堆。

堆的存储：
一般都用数组来表示堆，i 结点的父结点下标就为(i – 1) / 2。它的左右子结点下标分别为 2 * i + 1 和 2 * i + 2。如第 0 个结点左右子结点下标分别为 1 和 2。

堆的操作——插入删除:
下面先给出《数据结构 C++语言描述》中最小堆的建立插入删除的图解，再给出代码实现，最好是先看明白图后再去看代码。

堆的插入:
每次插入都是将新数据放在数组最后。可以发现从这个新数据的父结点到根结点必然为一个有序的数列，现在的任务是将这个新数据插入到这个有序数据中——这就类似于直接插入排序中将一个数据并入到有序区间中，写出插入一个新数据时堆的调整代码：

void MinHeapFixup(int a[], int i)
{int j,temp;temp = a[i];j = (i - 1) / 2; //父结点while (j >= 0){if (a[j] <= temp)break;a[i] = a[j]; //把较大的子结点往下移动,替换它的子结点i = j;j = (i - 1) / 2;}a[i] = temp;
}

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更简短的表达为：

void MinHeapFixup(int a[], int i)
{for (int j = (i - 1) / 2; j >= 0 && a[i] > a[j]; i = j, j = (i - 1) / 2)Swap(a[i], a[j]);}

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插入时：//在最小堆中加入新的数据nNum

void MinHeapAddNumber(int a[], int n, int nNum)
{a[n] = nNum;MinHeapFixup(a, n);
}

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堆的删除：
按定义，堆中每次都只能删除第 0 个数据。为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根结点，然后再从根结点开始进行一次从上向下的调整。调整时先在左右儿子结点中找最小的，如果父结点比这个最小的子结点还小说明不需要调整了，反之将父结点和它交换后再考虑后面的结点。相当于从根结点将一个数据的“下沉”过程。下面给出代码：

// 从i节点开始调整,n为节点总数 从0开始计算 i节点的子节点为 2*i+1, 2*i+2
void MinHeapFixdown(int a[], int i, int n)
{int j, temp;temp = a[i];j = 2 * i + 1;while (j < n){if (j + 1 < n && a[j + 1] < a[j]) //在左右孩子中找最小的j++;if (a[j] >= temp)break;a[i] = a[j]; //把较小的子结点往上移动,替换它的父结点i = j;j = 2 * i + 1;}a[i] = temp;
}

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//在最小堆中删除数

void MinHeapDeleteNumber(int a[], int n)
{Swap(a[0], a[n - 1]);MinHeapFixdown(a, 0, n - 1);
}

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堆化数组：
有了堆的插入和删除后，再考虑下如何对一个数据进行堆化操作。要一个一个的从数组中取出数据来建立堆吧，不用！先看一个数组，如下图：

很明显，对叶子结点来说，可以认为它已经是一个合法的堆了即 20，60， 65，4， 49 都分别是一个合法的堆。只要从 A[4]=50 开始向下调整就可以了。然后再取 A[3]=30，A[2] = 17，A[1] = 12，A[0] = 9 分别作一次向下调整操作就可以了。下图展示了这些步骤：

写出堆化数组的代码：

//建立最小堆
void MakeMinHeap(int a[], int n)
{for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)MinHeapFixdown(a, i, n);
}

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至此，堆的操作就全部完成了，再来看下如何用堆这种数据结构来进行排序。

堆排序：
首先可以看到堆建好之后堆中第 0 个数据是堆中最小的数据。取出这个数据再执行下堆的删除操作。
这样堆中第 0 个数据又是堆中最小的数据，重复上述步骤直至堆中只有一个数据时就直接取出这个数据。由于堆也是用数组模拟的，故堆化数组后，第一次将 A[0]与 A[n - 1]交换，再对A[0…n-2]重新恢复堆。第二次将 A[0]与 A[n – 2]交换，再对 A[0…n - 3]重新恢复堆，重复这样的操作直到 A[0]与 A[1]交换。
由于每次都是将最小的数据并入到后面的有序区间，故操作完成后整个数组就有序了。有点类似于直接选择排序。

// 堆排序 最小堆 –> 降序排序
void MinheapsortTodescendarray(int a[], int n)
{for (int i = n - 1; i >= 1; i--){Swap(a[i], a[0]);MinHeapFixdown(a, 0, i);}
}

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注意使用最小堆排序后是递减数组，要得到递增数组，可以使用最大堆。由于每次重新恢复堆的时间复杂度为 O(logN)，共 N - 1 次重新恢复堆操作，再加上前面建立堆时 N / 2 次向下调整，每次调整时间复杂度也为 O(logN)。二次操作时间相加还是 O(N * logN)。故堆排序的时间复杂度为 O(N * logN)。