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题目

有 n 桶液体，其其中 正好 有一桶含有毒药，其装的都是水。它们从外观看起来都一样。为了弄清楚哪只水桶含有毒药，你可以喂一些猪喝，通过观察猪是否会死进行判断，实验对象的反应时间为 d 。不幸的是，你只有 t 时间来确定哪桶液体是有毒的。

解析

香农熵公式

根据题意，最大测试次数为 num = $|\frac{t}{d}|$

只测试一轮：

考虑 num=1 时，也就是只进行一轮测试，容易想到可以使用与水同等数量的小猪来进行测试，n 个小猪喝 n 桶液体，哪个死翘翘哪一桶水有问题。

但这样的测试方式效率过低，我们其实可以结合二进制，让每个小猪同时测试多桶液体。这样祸害的小猪会少一点，更人道一些~

具体来说，我们需要 k 只小猪，k 满足 $2^k\ge n$。举个例子，当 n=5 时，可得 k = 3，即 3 只小猪即可一轮测出哪一桶是毒药，具体做法：

1. 我们以 $x_1{x}_2{x}_3$ 的形式表示 5 桶液体的 二进制 编号，如：第一桶液体二进制编号为 001 。
2. 我们让第 i 只小猪喝二进制编号 $x_i$ 为 1 的液体。即：
   • 第一只小猪需要喝的桶二进制编号为：100、101
   • 第二只小猪需要喝的桶二进制编号为：010、011
   • 第三只小猪需要喝的桶二进制编号为：001、011、101
3. 经过反应时间 d 后，观察所有小猪的状态，第 i 只小猪死亡则代表含毒的水桶其 编号第 i 位为 1 ，幸存则代表 编号第 i 位为 0 。从而得到含毒的水桶的编号。举例：第二、三只小猪死亡，说明第三桶液体含毒；第一、三只小猪死亡，说明第五桶液体含毒……

测试 num 轮：

1. 只测试一轮时我们用二进制为水桶编号，因此测试 num 轮时，我们用 num+1 进制为水桶编号。
2. 小猪数量 k 需满足 $(num+1{)}^k\ge n$，即 k 为 num+1 进制的长度。
3. 若某桶水的 num+1 进制中的第 x 位为 i（0<=i<=num），则代表将该水在第 i 轮喂给编号为 x 的小猪。

这样我们就得到了著名的 香农熵 公式：$H(X)=-\sum _x{P(x)log}_2[P(x)]$

P(x) 代表随机事件 x 的发生概率。

本题中，记随机事件 A 为 n 桶液体中哪一个桶有毒，概率为 $\frac{1}{n}$ 。

记随机事件 B 为在测试轮数为 num 时，所有实验对象的最终状态，每个实验对象的状态共有 num+1 种（一开始都是活的状态，每测一轮多一种状态的可能性——死 or 继续活），即 k 只小猪共有 $C=(num+1{)}^k$ 种最终结果，可近似看做等概率 $\frac{1}{C}$ 。

我们需要求得在满足 $H(A)<=H(B)$ 前提下的最小 k 值。即：$\frac{lo{g}_{2}n}{lo{g}_2(num+1)}<=k$

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样例具体分析

假设：总时间 minutesToTest = 60，死亡时间 minutesToDie = 15，pow(x, y) 表示 x 的 y 次方，ceil(x) 表示 x 向上取整。

那么：

1. 当前有 1 只小猪的话，最多可以喝 num = minutesToTest / minutesToDie = 4 次水
2. 最多可以喝 4 次水，能够携带 base = times + 1 = 5 个的信息量，也就是：
   • 喝 1 号死去，1 号桶水有毒
   • 喝 2 号死去，2 号桶水有毒
   • 喝 3 号死去，3 号桶水有毒
   • 喝 4 号死去，4 号桶水有毒
   • 喝了上述所有水依然活蹦乱跳，5 号桶水有毒
   • 反推得，当 buckets ≤ 5 时，小猪数量 answer = 1 。
3. 那么 2 只小猪可以验证的范围最多到多少呢？我们把每只小猪携带的信息量（能测多少桶液体）看成是 base ，2 只小猪的信息量就是 $pow(base,2)=pow(5,2)=25$，所以当 $5\le buckets\le 25$ 时，anwser = 2 。
4. 那么可以得到公式关系：$pow(base,ans)\ge buckets$，取对数后即为：$ans\ge \frac{log(buckets)}{log(base)}$，因为 ans 为整数，所以 $ans=ceil(\frac{log(buckets)}{log(base)})$

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代码

class Solution {
public:int poorPigs(int buckets, int minutesToDie, int minutesToTest) {int num = minutesToTest/minutesToDie;return (int)ceil(log(buckets) / log(num+1));}
};