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向量数量积相关的最值问题的常见处理方法

湖南永州，唐佳

浙江省平阳中学，洪一平

湖北省阳新县高级中学，邹生书

      向量集数与形于一身，是数形结合的良好载体。解决向量与数量积相关的最值问题或取值范围问题，常见的处理方法主要有：

1.几何法，即转化几何图形运用几何性质求解。如：三角形中线长公式，矩形大法，还有湖南永州唐佳老师提出的平行四边形大法(实际上是三角形中线长公式的另一种表现形式)，两点之间线段最短等；2。坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题来处理；3.向量方法。即运用向量数量积的定义、数量积不等式、向量极化恒等式等有关向量知识解决问题；4.综合运用多种数学知识和方法解决问题。下面结合几个典型题目进行方法解读。

方法一：运用矩形大法求解

方法二：矩形大法之推广——平行四边形大法

解法2：洪一平老师的向量不等式+判别式解法

方法三：用向量数量积的定义求解

解法1：向量方法   用向量数量积的定义求解

解法2：坐标法  用向量数量积的坐标运算求解

方法四：用几何法或向量不等式求解

洪一平老师的几何法与向量不等式解法如下：

方法五：用向量数量积的坐标运算求解

解法1：坐标法

解法2：用向量的极化恒等式求解

方法六：用向量的极化恒等式求解

解：运用向量数量积的运算或极化恒等式求解

如图，取MN中点G,连接CG.

文章来源：邹生书数学，作者：邹生书；如存图片/音视频/作者/来源等使用或标注有误，请随时联系微信ABC-shuxue处理。

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