1 KMP算法

原文链接：https://zhuanlan.zhihu.com/p/83334559

先约定，本文用pat表示模式串，长度为M，txt表示文本串，长度为N，KMP算法是在txt中查找子串pat，如果找到，返回这个子串的起始索引，否则返回-1.

用一张图演示一下KMP算法：

KMP算法永不回退txt中的索引i，不走回头路。而是借助一个数组dp，dp数组中存储的信息把pat移到正确的位置继续匹配。

KMP的难点在于计算dp数组，计算这个dp数组，之和pat有关。意思是说，只要给我个pat，我就能通过这个模式串计算出dp数组，与txt无关系。

dp 数组只和 pat 有关，那么我们这样设计 KMP 算法就会比较漂亮：

int KMP(char *pat,char *txt)
{/*第一步获取dp数组*/dp = getDP(char *pat);/* 第二步搜索*/return_value = search(char *txt,char *pat);/* 第三步 */return return_value;
}

状态机概述

为什么说KMP算法与状态机有关呢？是这样的，我们可以认为pat的匹配就是状态的转移，比如pat=“ABABC”:

如上图，圆圈内的数字就是状态，状态0是起始状态，状态5是终止状态。开始匹配时pat处于起始状态，一旦转移到终止状态，就说明在txt中找到了pat。比如说当前处于状态2，说明字符AB被匹配。
另外，当处于一个状态时，接下来匹配的字符不同，pat 状态转移的行为也不同。比如说假设现在匹配到了状态 4，如果遇到字符 A 就应该转移到状态 3，遇到字符 C 就应该转移到状态 5，如果遇到字符 B 就应该转移到状态 0：

KMP算法最关键的步骤就是构造这个状态转移，要确定状态转移的行为，得确定两个变量，一个是当前的匹配状态，另一个是遇到的字符。确定了这两个变量后，就可以知道这个情况下应该转移到那个状态。

为了描述状态转移图，我们定义一个二维 dp 数组，它的含义如下：

dp[j][c] = next
0 <= j < M，代表当前的状态
0 <= c < 256，代表遇到的字符（ASCII 码）
0 <= next <= M，代表下一个状态dp[4]['A'] = 3 表示：
当前是状态 4，如果遇到字符 A，
pat 应该转移到状态 3
因为状态3之前的字符和状态4之前的字符相同dp[1]['B'] = 2 表示：
当前是状态 1，如果遇到字符 B，
pat 应该转移到状态 2

根据我们这个dp数组和刚才状态转移的过程，我们可以先写出KMP算法的search函数：

int search(char *txt,char *pat)
{int M = strlen(pat);int N = strlen(txt);//pat的初始态为0int  j = 0;for(int i=0;i<N;i++){/* 当前状态是j，遇到字符txt[i]，pat应该转移到那个状态？ */j = dp[j][txt[i]];/* 如果到达终止态，返回匹配开头的索引 */if(j==M) return i-M+1;}/* 没有到达终止态，返回-1表示匹配失败 */return -1;
}

构建状态转移

回想刚才说的：要确定状态转移的行为，必须明确两个变量，一个是当前的匹配状态，另一个是遇到的字符，而且我们已经根据这个逻辑确定了 dp 数组的含义，那么构造 dp 数组的框架就是这样：

for 0 <= j < M: # 状态for 0 <= c < 256: # 字符dp[j][c] = next

这个next状态应该怎么求呢？显然，如果遇到的字符c和pat[j]匹配，状态就应该向前推进一个，也就是说next=j+1，我们不妨称这种情况为状态推进：

如果字符c和pat[j]不匹配，状态就要回退（或者原地不动），我们不妨称这种情况为状态重启：

那么，如何得知在哪个状态重启呢？解答这个问题之前，我们再定义一个名字：影子状态（我编的名字），用变量 X 表示。所谓影子状态，就是和当前状态具有相同的前缀。比如下面这种情况：

当前状态j=4，其影子状态为X=2，它们都有相同的前缀AB，因为状态X和状态j存在相同的前缀，所以当状态j准备进行状态重启（遇到的字符c和pat[j]不匹配）的时候，可以通过X的状态转移来获得最近的重启位置。
比如说刚才的情况，如果状态 j 遇到一个字符 “A”，应该转移到哪里呢？首先只有遇到 “C” 才能推进状态，遇到 “A” 显然只能进行状态重启。状态 j 会把这个字符委托给状态 X 处理，也就是 dp[j]['A'] = dp[X]['A']

为什么这样可以呢？因为：既然 j 这边已经确定字符 “A” 无法推进状态，只能回退，而且 KMP 就是要尽可能少的回退，以免多余的计算。那么 j 就可以去问问和自己具有相同前缀的 X，如果 X 遇见 “A” 可以进行「状态推进」，那就转移过去，因为这样回退最少。

所以计算bp数组的伪代码就有了：

int X # 影子状态
for 0 <= j < M:for 0 <= c < 256:if c == pat[j]:# 状态推进dp[j][c] = j + 1else: # 状态重启# 委托 X 计算重启位置dp[j][c] = dp[X][c] # 更新 XX = dp[X][c]

为什么更新X使用的是： X = dp[X][c]，我们首先要理解dp的含义。看下图：

dp[4]['A'] = 3 表示：
当前是状态 4，如果遇到字符 A，
pat 应该转移到状态 3
因为状态3之前的字符和状态4之前的字符相同

状态3前面的字符是ABA，状态四前面有ABA（最后一个A是要匹配的），所以dp[4]['A'] = 3，dp[状态n][匹配的字符y]的值实际代表的含义是在转态n下pat字符串前面和后面能匹配的字符数（也就是前面说的影子）。

X = dp[X][c]表示在原来状态下匹配字符c，如果相同的话，影子状态就是增加1，如上图，假设现在在状态3匹配，则X=1，接下来就会计算dp[4]状态下的转移，在计算状态4转移前，首先要计算出状态4对应的影子状态，dp[X][c]就是比较X=1对应的字符B和状态3对应的字符B是否相同，如果相同就是要增加影子长度，不相同就要转移，计算对应的影子。

所以，getDP函数实现如下：

void getDP(char *pat,int M)
{/* dp[状态][字符] = 下个状态 */dp[0][pat[0]]= 1;int X=0;for(int j=1;j<M;j++){for(int c=0;c<256;c++){/* 和字符c匹配了 */if(pat[j]==c)dp[j][c]=j+1;else   /* 和字符c不匹配 */dp[j][c]=dp[X][c];}/* 更新 X*/X = dp[X][pat[j]];}
}

我们整合并化简两个程序，形成一个KMP算法。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>int dp[256][256];void getDP(char *pat,int M)
{/* dp[状态][字符] = 下个状态 */dp[0][pat[0]]= 1;int X=0;for(int j=1;j<M;j++){for(int c=0;c<256;c++){/* 和字符c匹配了 */if(pat[j]==c)dp[j][c]=j+1;else   /* 和字符c不匹配 */dp[j][c]=dp[X][c];}/* 更新 X*/X = dp[X][pat[j]];}
}int search(char *txt,char *pat)
{int M = strlen(pat);int N = strlen(txt);//pat的初始态为0int  j = 0;for(int i=0;i<N;i++){/* 当前状态是j，遇到字符txt[i]，pat应该转移到那个状态？ */j = dp[j][txt[i]];/* 如果到达终止态，返回匹配开头的索引 */if(j==M) return i-M+1;}/* 没有到达终止态，返回-1表示匹配失败 */return -1;
}int main(void)
{char *txt = "BCDABABC";char *pat = "ABABC";getDP(pat,strlen(pat));int count = search(txt,pat);printf("count = %d\n",count);return 0;
}