01背包

求集合里是否出现总和为sum/2的子集。

背包体积为sum/2

背包放入的商品的重量为元素的数值，价值也为元素的数值

背包如何正好被装满，说明找到了总和为sum/2的子集

背包中每个元素都是不可重复放入的。

1、确定dp数组以及下标含义

dp[j]表示容量为j的背包，所背物品价值可以最大为dp[j]。

dp[j]表示背包总容量为j，最大可以凑成j的子集总和为dp[j]。

2、确定递推公式

dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]] + nums[i]);

3、初始化

vector<int> dp(target+1,0);	//target为背包容量

4、确定遍历顺序

for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
{for(int j = target; j >= nums[i]; j--){dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);}
}

AC代码：

class Solution {
public:bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = 0;for(int num : nums){sum += num;}if(sum % 2 != 0) return false;int target = sum / 2;vector<int> dp(target+1,0);for(int i = 0; i < nums.size(); i++){for(int j = target; j >= nums[i]; j--){dp[j] = max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);if(dp[j] == target) return true;}}if(dp[target] == target) return true;else return false;}
};

将石头尽量分成两堆相同重量，然后相撞。分成两堆的思路与上一题一致。

class Solution {
public:int lastStoneWeightII(vector<int>& stones) {int sum = 0;for(int stone : stones){sum += stone;}int target = sum / 2;//dp[target]，容量为target的背包最多能背多重的石头vector<int> dp(target+1,0);for(int i = 0; i < stones.size(); i++){for(int j = target; j >= stones[i]; j--){dp[j] = max(dp[j],dp[j-stones[i]] + stones[i]);}}return sum - dp[target]*2;}
};

所有数字可以分为两堆，一堆符号为正，一堆符号为负。
pos + neg = S 且 pos - neg = sum
所以pos = (S+sum)/2,问题转化为集合nums中找出和为pos的组合。
此时问题就转化为，装满容量为pos背包，有几种方法。
这次和之前遇到的背包问题不一样了，之前都是求容量为j的背包，最多能装多少。
本题则是装满有几种方法。其实这就是一个组合问题了。
1、确定dp数组以及下标
dp[j]表示，填满体积为j的背包，有dp[j]种方法。

2、确定递推公式
不考虑nums[i],填满容量为j-nums[i]的背包，有dp[j-nums[i]]种方法，
如果能搞到nums[i],则填满容量为j-nums[i]的背包，就有dp[j]+dp[j-nums[i]]种方法。

dp[j] += dp[j-nums[i]]

3、初始化dp数组
dp[0] = 1，装满容量为0的背包，有1种方法。其他dp[i]均设置为0，在不知道nums[i]的情况下，没有方法。

4、确定遍历顺序
nums外循环，j内循环倒序。

AC代码：

class Solution {
public:int findTargetSumWays(vector<int>& nums, int target) {int sum = 0;for(int num : nums)sum += num;//如果绝对值和比targetabs小，说明都用同一个符号也不能凑成if(sum < abs(target)) return 0;//如果不能完整的分成两组，那么说明没有方法if((target + sum) % 2 == 1) return 0;int bagWeight = (target + sum)/2;vector<int> dp(bagWeight+1,0);dp[0] = 1;for(int i = 0; i < nums.size(); i++){for(int j = bagWeight; j >= nums[i]; j--){dp[j] += dp[j-nums[i]];}}return dp[bagWeight];}
};