51nod1040 最大公约数之和，欧拉函数或积性函数

1040 最大公约数之和

　　给出一个n，求1-n这n个数，同n的最大公约数的和。比如：n = 6时，1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6，加在一起 = 15

　　看起来很简单对吧，但是n<=1e9，所以暴力是不行的，所以要把公式进行推导。

　　引用51nod1040最大公约数之和（欧拉函数）

　　这个自己上手推一下也很好推的，不过没推过公式的可能不太懂。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 typedef long long ll;
 4 const int N=52118;
 5 bool nop[N]={false};
 6 int pn,pri[N];
 7 void init()
 8 {
 9     pn=0;
10     for(int i=2;i<N;i++)
11     {
12         if(!nop[i])
13             pri[pn++]=i;
14         for(int j=0;j<pn&&1ll*i*pri[j]<N;j++)
15         {
16             nop[i*pri[j]]=true;
17             if(i%pri[j]==0)
18                 break;
19         }
20     }
21 }
22 int phi(int x)
23 {
24     int ans=x;
25     for(int i=0;i<pn&&pri[i]*pri[i]<=x;i++)
26         if(x%pri[i]==0)
27         {
28             ans=ans-ans/pri[i];
29             while(x%pri[i]==0)
30                 x/=pri[i];
31         }
32     if(x>1)
33         ans=ans-ans/x;
34     return ans;
35 }
36 ll solve(int x)
37 {
38     ll ans=0;
39     int xx=sqrt(x);
40     for(int i=1;i<=xx;i++)
41     {
42         if(x%i==0)
43         {
44             ans+=i*phi(x/i);
45             if(x/i!=i)
46                 ans+=x/i*phi(i);
47         }
48     }
49     return ans;
50 }
51 int main()
52 {
53     int n;
54     init(); 
55     while(~scanf("%d",&n))
56         printf("%lld\n",solve(n)); 
57     return 0;
58 }

欧拉函数

　　另一个方法就是首先可以观察看出f（n）=∑gcd(i,n)是积性函数的性质（不懂证明），然后借用积性函数的性质

　　这样要求f(n)，我们只需要知道f(p^k)等于多少就行了，而f(p^k)的话

　　而不懂怎么化简成最后一步的话，直接跑第一步的式子也行，因为p^k它的因子也不会有多少个

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cmath>
 3 typedef long long ll;
 4 const int N=52118;
 5 bool nop[N]={false};
 6 int pn,pri[N];
 7 void init()
 8 {
 9     pn=0;
10     for(int i=2;i<N;i++)
11     {
12         if(!nop[i])
13             pri[pn++]=i;
14         for(int j=0;j<pn&&1ll*i*pri[j]<N;j++)
15         {
16             nop[i*pri[j]]=true;
17             if(i%pri[j]==0)
18                 break;
19         }
20     }
21 }
22 int phi(int x)
23 {
24     int ans=x;
25     for(int i=0;i<pn&&pri[i]*pri[i]<=x;i++)
26         if(x%pri[i]==0)
27         {
28             ans=ans-ans/pri[i];
29             while(x%pri[i]==0)
30                 x/=pri[i];
31         }
32     if(x>1)
33         ans=ans-ans/x;
34     return ans;
35 }
36 //不化简 
37 //ll solve(int x)
38 //{
39 //    ll ans=1,res;
40 //    for(int i=0;i<pn&&pri[i]<=x;i++)
41 //    {
42 //        if(x%pri[i]==0)
43 //        {
44 //            int y=1,z,num=0;
45 //            res=0; 
46 //            while(x%pri[i]==0)
47 //            {
48 //                x/=pri[i];
49 //                y*=pri[i];
50 //            }
51 //            z=y;
52 //            while(z)
53 //            {
54 //                res+=1ll*(y/z-num)*z;
55 //                num=y/z;
56 //                z/=pri[i];
57 //            }
58 //            ans*=res;
59 //        }
60 //    }
61 //    if(x>1)
62 //        ans*=2ll*x-1;
63 //    return ans;
64 //}
65 ll solve(int x)
66 {
67     ll ans=0;
68     int xx=sqrt(x);
69     for(int i=1;i<=xx;i++)
70     {
71         if(x%i==0)
72         {
73             ans+=i*phi(x/i);
74             if(x/i!=i)
75                 ans+=x/i*phi(i);
76         }
77     }
78     return ans;
79 }
80 int main()
81 {
82     int n;
83     init(); 
84     while(~scanf("%d",&n))
85         printf("%lld\n",solve(n)); 
86     return 0;
87 }