《初等代数研究》作业
一。填空题
1．第一数学归纳法的内容是____________.
2．函数的值域是_________.
3．函数的定义域是__________.
4．函数在内的反函数是 .
5．模的剩余类具有的性质是（至少写出两条）.
6．柯西不等式的内容是.
7．切比雪夫不等式的内容是___________.
8．超越方程包括__________.
9．把方程的各个根乘以2，对应的值是
10．.
11．排序定理的内容是_______.
12．一元三次方程 ，如果它有三个不等的实根，则_（填大于零，小于零，或等于0）.
13.对于一元三次方程，如果，那么该方程根的情况为___________。
14.排序不等式的内容是___________。
15.函数在区间内的最小值为___________。
16.如果一元三次方程有三个实根，那么 ___________
（填大于、小于或等于零）。
17.第二数学归纳法的内容是___________。
18.初等超越不等式包括__________。

二．解方程（组）或不等式（组）
1．解方程组
2．解不等式

3．解不等式
4．解方程组

5．解不等式

6．解方程组
7．解不等式
8.解方程组

9.解不等式

10.解方程组

三．证明
1．已知求证或2.
2．求证函数当时取最小值2.
3．已知且，求证
4．已知对任意的自然数，且，求证
5．已知都是素数，，求证
6．证明：在个相等的小方格组成的棋盘上，任意挖去一个小方格后，总可以用由这个3个小
方格构成的L形块恰好铺满.
7．设是相异素数，求证 （）.
8．证明函数是代数函数.
9．求证：
10．证明：如果是二次以上有理系数方程的一个根，都是有理数，并且
是无理数，那么也是的根.
11．设是相异的正整数，求证
12．求证：方程的一个根和另一个根的绝对值相等，符号相反的条件是
（）.
13．设，求证

14．设是内一点，分别是P到三边的距离，R表示 外接圆半径，证明：
15.证明：用为3分和5分的邮票可以支付任何（是大于7的自然数）分的邮资。
16.证明：若，，则。
17.证明函数是超越函数。
18.证明：已知是定义在N上，又在N上取值的函数，并且
1）； 2）对任何，有； 3）当时，。
求证：（）。
19.设是相异的素数，求证：。

四．解题
1．分解为实数系因式。
2．设正三角形ABC的边长为定值分别是BC，CA，AB上的点，且，求面积的最大值.
3．求数列的最小项.
4．已知方程有两个根满足关系式，解这个方程.
5．求的末两位数.
6．已知，函数的最大值是0，最小值是-4，求使取得最大值
和最小值的值及和的值.
7.已知方程组

有唯一的解，求参数m的值。
8.已知P为内任意一点，连接AP，BP，CP，并延长分别交BC，CA，AB于D，E，F，求的最小值。