目录：

• 分而治之算法
• 动态规划
• 回溯算法

分而治之算法

分而治之算法是算法设计的一种方式，它将一个问题分成多个和原问题相似的小问题，递归解决小问题，再将解决方式合并以解决原来的问题（例如快速排序，二分搜索等）

分而治之算法可以分成三个部分

1. 分解原问题为多个子问题（原问题的多个小实例）
2. 解决子问题，用返回解决子问题的方式的递归算法。递归算法的基本情形可以用来解决子问题
3. 组合这些子问题的解决方式，得到原问题的解

我们利用二分搜索作为例子来看看什么是分而治之，利用分而治之的理念，实现二分搜索可以是以下逻辑：

1. 分解：计算mid并搜索数组较小或较大的一半
2. 解决：在较小或较大的一半中搜索值
3. 合并：这步不需要，因为我们直接返回了索引值

function 

首先，找到找不到搜索值时的终止条件（行{1}），也就是当左右边界相触时，表示找不到该值，返回 -1。然后定义中间值mid（行{2}），判断中间值和搜索值的大小，若相等，直接返回中间值（行{3}），若中间值小于搜索值，这对左边子数组进行搜索，将右边边界缩小到当前中间值的前一位（行{5}），进行下一轮递归，若中间值大于搜索值，则对右边子数组进行搜索，将左边边界增加到当前中间值后一位（行{7}），进行下一轮遍历。

注意，第一次传入的函数的数组必须是经过排序的，并且low表示数组第一个下标，high表示数组最后一个下标

动态规划

动态规划（dynamic programming，DP）是一种将复杂问题分解成更小的子问题来解决的优化技术

注意：动态规划和分而治之是不同的方法。分而治之方法是把问题分解成相互独立的子问题，然后组合它们的答案，而动态规划则是将问题分解成相互依赖的子问题。

用动态规划解决问题时，要遵循三个重要步骤：

1. 定义子问题
2. 实现要反复执行来解决子问题的部分
3. 识别并求解出基线条件

下面我们通过两个例子来看动态规划的实战操作（背包问题，最长公共子序列）

· 背包问题

背包问题是一个组合优化问题，它可以描述如下：

给定一个固定大小，能够携重量W的背包，以及以组有价值和重要的物品，找出一个最佳解决方案，使得装入背包的物品总重量不超过W，且总价值最大

例子：

考虑背包能够携带的重要只有5，我们规定只能往背包里装完整的物品（0-1背包）。对于这个例子，我们可以说最佳解决方案是往背包里装入物品1和物品2，这样总重要5，总价值为7

我们来实现这个背包算法：

function 

我们来分析上面这段代码是如何工作的

搜先，初始化将用于寻找解决方案的矩阵（行{1}）。矩阵为 kS[n+1][capacity + 1]。然后，忽略矩阵的第一列和第一行，只处理索引不为0的列和行（行{2}）并且要迭代数组中每个可用的项。物品i的重要必须小于约束capacity（行{3}）才有可能成为解决方案的一部分；否则，总重要就会超出背包能够携带的重要，这是不可能发生的。发生这种情况时，只要忽略它，用之前的值就可以了（行{5}）。当找到可以构成解决方案的物品时，选择价值最大的那个（行{4}）。然后，问题的解决方案就在这个二维表格右下角的最后一个格子里（行{7}）

我们做一个测试用例

const values = [3,4,5]
weights = [2,3,4]
capacity = 5
n = values.length

下图说明例子中kS矩阵的构造

请注意，这个算法只输出背包携带物品价值的最大值，而不列出实际的物品。我们可以增加下面的附加函数找出构成解决方案的物品（行{6}）

function 

· 最长公共子序列

另一个经常被当作编程挑战问题的动态规划问题是最长公共子序列（LCS）：找出两个字符串序列的最长子序列的长度。最长子序列是指，在两个字符串序列中以相同顺序出现，但不要求连续（非字符串子串）的字符串序列

考虑如下的例子。

再看看具体的算法

function 

与背包问题比较，我们会发现两者非常相似，这项从顶部开始构建解决方案的技术被称为记忆化，而解决方案就在表格或矩阵的右下角

我们用图来展示：

回溯算法

回溯是一种渐进式寻找并构建问题解决方式的策略。我们从一个可能的动作开始并试着用这个动作解决问题。如果不能解决，就回溯并选择另一个动作直到将问题解决。根据这种行为，回溯算法会尝试所有可能的动作（如果更快找到了解决方法就尝试较少的次数）来解决问题

我们以迷宫老鼠问题来看回溯算法

假设我们有一个大小为N x N的矩阵，矩阵的每个位置是一个方块。每个位置（或块）可以是空闲的（值为1）或是被阻挡的（值为0），如下图所示，其中S是起点，D是终点

矩阵就是迷宫，‘老鼠’的目标是从位置[0][0]开始并移动到[n-1][n-1]（终点）。老鼠可以在垂直或水平方向上任何未被阻挡的位置间移动

我们先声明下算法的基本结构

function 

首先创建一个包含解的矩阵。将每个位置初始化为零（行{1}）。对于老鼠采取的每步行为，我们将路径标记为1。如果算法能够找到一个解（行{2}），就返回解决矩阵，否则返回一条错误信息（行{3}）

然后我们开始构思findPath函数，它会试着从位置x和y开始在给定的maze矩阵中找到一个解。回溯技巧也使用递归，这也是这个算法有回溯能力的原因

function 

算法的第一步是验证老鼠是否到达了终点（行{4}），如果到了，就将最后一个位置标记为路径的一部分并且返回true，表示移动成功结束。如果不是最后一步，要验证老鼠能否安全移动至该位置（行{5} 表示根据下面声明的isSafe方法判断出该位置空闲）。如果是安全的，我们将这步加入路径（行{6}）并试着在maze矩阵中水平移动（向右）到下一个位置（行{7}）。如果水平移动不可行，我们就试着垂直向下移动到下一个位置（行{8}）。如果水平和垂直都不能移动，那么将这步从路径中移除并回溯（行{9}），表示算法会尝试另一个可能的解。在算法尝试了所有可能的动作之后还是找不到解时，就返回false（行{10}），表示这个问题无解

实现isSafe函数

function 

下面进行测试

const maze = [[1,0,0,0],[1,1,1,1],[0,0,1,0],[0,1,1,1]
]
console.log(ratInAMaze(maze))