https://blog.csdn.net/lzuacm/article/details/52853194

堆排序原理及其实现(C++)

1. 堆排序的引入

我们知道简单选择排序的时间复杂度为O(n^2)，熟悉各种排序算法的朋友都知道，这个时间复杂度是很大的，所以怎样减小简单选择排序的时间复杂度呢？简单选择排序主要操作是进行关键字的比较，所以怎样减少比较次数就是改进的关键。简单选择排序中第i趟需要进行n-i次比较，如果我们用到前面已排好的序列a[1...i-1]是否可以减少比较次数呢？答案是可以的。举个例子来说吧，A、B、C进行比赛，B战胜了A，C战胜了B，那么显然C可以战胜A，C和A就不用比了。正是基于这种思想，有人提出了树形选择排序：对n个记录进行两两比较，然后在([n/2]向上取整)个较小者之间在进行两两比较，如此重复，直到选出最小记录。但是这种排序算法需要的辅助空间比较多，所以威洛姆斯(J . Willioms)在1964年提出了另一种选择排序，这就是下面要谈的堆排序。

2. 什么是堆

首先堆heap是一种数据结构，是一棵完全二叉树且满足性质：所有非叶子结点的值均不大于或均不小于其左、右孩子结点的值.

3. 堆排序思想

堆排序的基本思想是利用heap这种数据结构(可看成一个完全二叉树)，使在排序中比较的次数明显减少。

堆排序的时间复杂度为O(n*log(n))， 非稳定排序，原地排序(空间复杂度O(1))。

堆排序的关键在于建堆和调整堆，下面简单介绍一下建堆的过程：

第1趟将索引0至n-1处的全部数据建大顶(或小顶)堆，就可以选出这组数据的最大值(或最小值)。将该堆的根节点与这组数据的最后一个节点交换，就使的这组数据中最大(最小)值排在了最后。

第2趟将索引0至n-2处的全部数据建大顶(或小顶)堆，就可以选出这组数据的最大值(或最小值)。将该堆的根节点与这组数据的倒数第二个节点交换，就使的这组数据中最大(最小)值排在了倒数第2位。

…

第k趟将索引0至n-k处的全部数据建大顶(或小顶)堆，就可以选出这组数据的最大值(或最小值)。将该堆的根节点与这组数据的倒数第k个节点交换，就使的这组数据中最大(最小)值排在了倒数第k位。

其实整个堆排序过程中, 我们只需重复做两件事：

• 建堆(初始化+调整堆, 时间复杂度为O(n));

• 拿堆的根节点和最后一个节点交换(siftdown, 时间复杂度为O(n*log n) ).

因而堆排序整体的时间复杂度为O(n*log n).

下面通过一组数据说明堆排序的方法：

9, 79, 46, 30, 58, 49

1: 先将待排序的数视作完全二叉树(按层次遍历顺序进行编号, 从0开始)，如下图:

2：完全二叉树的最后一个非叶子节点，也就是最后一个节点的父节点。最后一个节点的索引为数组长度len-1，那么最后一个非叶子节点的索引应该是为(len-1)/2.也就是从索引为2的节点开始，如果其子节点的值大于其本身的值。则把他和较大子节点进行交换，即将索引2处节点和索引5处元素交换。交换后的结果如图：

建堆从最后一个非叶子节点开始即可

3：向前处理前一个节点，也就是处理索引为1的节点，此时79>30,79>58,因此无需交换。

4：向前处理前一个节点，也就是处理索引为0的节点，此时9 < 79,9 < 49, 因此需交换。应该拿索引为0的节点与索引为1的节点交换，因为79>49. 如图:

5：如果某个节点和它的某个子节点交换后，该子节点又有子节点，系统还需要再次对该子节点进行判断。如上图因为1处，3处，4处中，1处的值大于3,4出的值，所以还需交换。

牢记： 将每次堆排序得到的最大元素与当前规模的数组最后一个元素交换。

伪代码如下:

1、由于是完全二叉树, 故有:

PARENT(i)return i / 2
LEFT(i)return 2 * i
RIGHT(i)2 * i + 1

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2、Heapify 
以最大堆为例，伪代码：

MAX-HEAPIFY(A, i)

l = LIFT(i)
r = RIGHT(i)
if l <= A.heapsize and A[l] > A[i]largest = l
else largest = i
if r <= A.heapsize and A[r] > A[largest]largest = r
if largest != iexchage A[i] with A[largest]MAX-HEAPIFY(A, largest)

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3、Build Heap 
以最大堆为例，伪代码：

BUILD-MAX-HEAP(A)

A.heap-size = A.length
for A.length / 2 downto 1MAX-HEAPIFY(A, i)

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4、Heapsort 
以最大堆为例，伪代码：

HEAPSORT(A) 
BUILD-MAX-HEAP(A)

for i = A.length downto 2exchange A[1] with A[i]A.heap-size = A.heap-size - 1MAX-HEAPIFY(A, 1)

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C++完整代码:

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;void adjust(int arr[], int len, int index)
{int left = 2*index + 1;int right = 2*index + 2;int maxIdx = index;if(left<len && arr[left] > arr[maxIdx]) maxIdx = left;if(right<len && arr[right] > arr[maxIdx]) maxIdx = right;  // maxIdx是3个数中最大数的下标if(maxIdx != index)                 // 如果maxIdx的值有更新{swap(arr[maxIdx], arr[index]);adjust(arr, len, maxIdx);       // 递归调整其他不满足堆性质的部分}}
void heapSort(int arr[], int size)
{for(int i=size/2 - 1; i >= 0; i--)  // 对每一个非叶结点进行堆调整(从最后一个非叶结点开始){adjust(arr, size, i);}for(int i = size - 1; i >= 1; i--){swap(arr[0], arr[i]);           // 将当前最大的放置到数组末尾adjust(arr, i, 0);              // 将未完成排序的部分继续进行堆排序}
}int main()
{int array[8] = {8, 1, 14, 3, 21, 5, 7, 10};heapSort(array, 8);for(auto it: array){cout<<it<<endl;}return 0;
}

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为何堆排序是不稳定排序?

当数组中有相等元素时，堆排序算法对这些元素的处理方法不止一种，故是不稳定的。

可重载比较函数的写法:

#include<memory.h>
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void swap(void* x, void* y, size_t sz) {void* t = malloc(sz);memcpy(t, x, sz);memcpy(x, y, sz);memcpy(y, t, sz);free(t);
}
void makeHeap(void* x, int i, int n, size_t sz, int(*cmp)(const void*, const void*)) {char* y = (char*)x;int l = 2 * i + 1;int r = 2 * i + 2;int m;if (l<n && (*cmp)(y + l*sz, y + i*sz)>0) m = l;else m = i;if (r<n && (*cmp)(y + r*sz, y + m*sz)>0) m = r;if (m != i){swap(y + i*sz, y + m*sz, sz);makeHeap(x, m, n, sz, cmp);}
}
void buildHeap(void* x, int n, size_t sz, int(*cmp)(const void*, const void*)) {for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) makeHeap(x, i, n, sz, cmp);
}
void heapSort(void* x, int n, size_t sz, int(*cmp)(const void*, const void*)) {buildHeap(x, n, sz, cmp);char* y = (char*)x;for (int i = n - 1; i >= 1; i--){swap(y, y + i*sz, sz);makeHeap(x, 0, --n, sz, cmp);}
}void p(int* x,int n){for (int k = 0; k < n; k++){printf("%d ", x[k]);}printf("\n");
}int less(const void* a, const void* b){return *((int*)a) < *((int*)b);
}
int greater(const void* a, const void* b){return *((int*)a) > *((int*)b);
}
int main(){int x[] = { 2, 3, 4, 6, 8, 2, 9, 0 };// 降序全排列heapSort(x, 8, sizeof(int), less);p(x, 8);// 升序全排列heapSort(x, 8, sizeof(int), greater);p(x, 8);// 最大的4个元素，在数组末尾heapSort(x, 4, sizeof(int), less);p(x, 8);
}