Python scipy.spatial.distance.squareform() 函数的用法

scipy.spatial.distance.squareform

调用方法
注意
示例1

调用方法

from scipy.spatial.distance import pdist, squareformscipy.spatial.distance.squareform(X, force='no', checks=True)

各个参数意义：
X：一个压缩或冗余的距离矩阵。
force：可以被设定为 "tovector" 或者 "tomatrix"，输入将会被看作是一个距离矩阵或者距离矢量。
checks：如果被设定为 False，如果已知 X - X.T1 很小且 diag(X) 接近于
Y：返回值，如果传递进入一个压缩距离矩阵，冗余的矩阵就会被返回，如果传递进入一个冗余的矩阵，压缩距离矩阵会被返回。

注意

v = squareform(X)

如果我们给予 squareform() 一个 $n\times n$ 的对称距离矩阵 X。比如二项式系数选择为 2，那么 squareform(X) 就会返回一个 $\left(n-1\right) / 2$ 大小的矢量 $v$ ，其中：
$\mathrm{Distance}_{i, j} =v\left [ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} n-i \\ 2 \end{pmatrix}+\left ( j-i-1 \right ) \right ]$
上式表示不同点 i 与 j 之间的距离。
如果 x 是非正方形或者非对称的，就会报错。
如果给定一个 $\left(n-1\right) / 2$ 大小的矢量 $v$ ，对于某些整数 $n >= 1$ 的编码距离，X=squareform(v) 返回一个 $n\times n$ 距离矩阵 X。 $X\left [ i, j \right ]$ 与 $X\left [ j, i \right ]$ 的值被设定为：
$\mathrm{Distance}_{i, j} =v\left [ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} n-i \\ 2 \end{pmatrix}+\left ( j-i-1 \right ) \right ]$
同时对角线上的元素均被设置为 0。

上面这个表达式相信大家看到都会比较懵，这里我来解释一下。矢量 $\mathrm{Distance}_{i, j}$ 描述了一个长度为 $n$ 的线性空间中， $i$ 和 $j$ 之间的距离。具体来说， $\mathrm{Distance}_{i, j}$ 表示从向量空间中第 $i$ 个向量到第 $j$ 个向量所需要的步数。其中，每一步可以沿着向量空间中的任意一个向量移动，但是每个向量只能被经过一次。这里的 $v$ 表示每一步的代价，也可以理解为移动单位长度所需花费的代价。

第一项 $\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}$ 表示向量空间中总共有多少个向量对，即任意两个向量之间都需要进行移动。
第二项 $\begin{pmatrix} n-i \\ 2 \end{pmatrix}$ 表示从第 $i$ 个向量开始，已经有多少对向量已经被移动过了，即已经不需要再移动。
第三项 $\left ( j-i-1 \right )$ 表示在第二项的基础上，从第 $i$ 个向量到第 $j$ 个向量之间还需要经过多少对向量。将这三个部分加起来，就能得到从第 $i$ 个向量到第 $j$ 个向量所需的步数。

依然很抽象，那么我们来看一个示例，在阅读示例之前推荐优先阅读------Python scipy.spatial.distance.pdist() 函数的用法。

示例1

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import pdist, squareformx = np.array([[0, 10], [10, 10], [20, 20]])
result = pdist(x)
print(result)square_matrix = squareform(pdist(x))
print(square_matrix)
"""
result:
[10.         22.36067977 14.14213562]
[[ 0.         10.         22.36067977][10.          0.         14.14213562][22.36067977 14.14213562  0.        ]]
"""

我们可以看到 squareform() 函数实际上将我们传递进入的以为距离数组变成了也给正方形矩阵，且矩阵对应索引位置上的元素值等于两点之间的距离，而这些位置的索引值与点的索引值一致，且关于主对角线对称，对角线上的元素全部为 0。如果我们此时将方形矩阵记作 $S$ ，比如，10. 此时位于 $S_{12}$ 与 $S_{21}$ 的位置，可以理解为原始数组 x 中第一个点和第二个点之间的距离。显然数组 x 中的第一个点坐标为 [0, 10]，第二个点的坐标为 [10, 10]，它们之间的距离也为 10.。我们的说法得到了验证。

根据之前 squareform() 函数的定义说明，如果此时我们将上面得到的 square_matrix 作为参数传递进去会得到什么呢？

import numpy as np
from scipy.spatial.distance import pdist, squareformx = np.array([[0, 10], [10, 10], [20, 20]])
result = pdist(x)
print(result)square_matrix = squareform(pdist(x))
print(square_matrix)print(squareform(square_matrix))
"""
result:
[10.         22.36067977 14.14213562]
[[ 0.         10.         22.36067977][10.          0.         14.14213562][22.36067977 14.14213562  0.        ]]
[10.         22.36067977 14.14213562] # 最终结果
"""