在做数据分析时，经常会要求数据服从正态分布，它在统计推断、模型构建中都很重要，那到底什么是正态分布呢？本期将为大家介绍正态分布，文章内容包括：

1.什么是正态分布；

2.公式、曲线怎么看；

3.正态分布的特征数字；

4.数据不呈现正态分布处理方法；

5.正态分布的应用。

1、什么是正态分布？

正态分布描述了某些比较稳定但又受一些偶然因素影响的现象。比如说考试成绩分布、人体身高数据等都是近似服从正态分布的。它代表了现实中最普通的一种数据形式。最早由法国数学家德·莫阿弗尔 (A. de Moivre)提出，但是是由高斯在研究误差理论时准确描述了正态分布，因此也称高斯分布。它是科研中最重要也是最常见的连续型随机变量分布，所以也被称作常态分布。下面具体看什么叫连续型随机变量。

首先变量分为连续型和离散型，正态分布的变量就是连续型的，它在数轴上任意不同两点之间可取值是无限的，可在某个给定的实数范围内任意取值 ，比如说身高、 体重、 血压等。它和离散型是不同的，后者在数轴上任意不同两点之间可取值的范围是有限的。在一个实数范围内取整数值，如掷骰子的点数、单位容积(L) 的红细胞计数、白细胞计数等。

随机变量则是用来描述那些结果具有随机性的数值或现象。这里的随机主要指的是结果的不确定性、不可预测性以及取值的多样性。可以是离散的，也可以是连续的。

连续型随机变量，指的是取值范围在一个实数区间内可以连续变化，并且有无限个数值，无法一一列举出来的随机变量。举个例子：等待公交车的时间就是一个连续随机变量，假设发车的间隔是5min，我们等待的时间可以是这个时间段内的任意实数。因为我们等的这班车什么时候到受到很多随机因素的影响，可能有些司机开车比较快，可能上一站上车的人数多，可能今天开车的人多路比较堵等等都会影响我们等到这班车的时间，而且这些影响因素都是随机发生的。

2、公式、曲线怎么看？

正态分布一般呈现的曲线如下左图所示，但它的含义与频数分布图（右图）没什么区别，只是在理论中把频数分布图的组距细化到无限窄而已。

图像是由该公式得到：

如果随机变量X的概率分布服从概率密度函数，则称为服从正态分布，记为：，其中𝜇的总体均数，σ^2为总体方差。

该公式中最关键的两个值就是𝜇和σ。

这个曲线就是关于X=𝜇这条直线左右对称，并且始终在X轴的上方，此外，当X=𝜇时f(X)最大，最大值就是，因为这个函数在这里有个负号，所以它越小，值越大。当这部分等于0时整个函数最大，也就是X=𝜇时。𝜇指的是均值，也叫数学期望。均值属于统计学范畴，期望属于概率论范畴，它俩本质是一个东西。

σ是标准差，σ^2表示方差，指和中心偏离的程度，用来度量随机变量和其数学期望也就是均值之间的偏离程度。即反应了该组数据的分散程度，方差越小，数据越集中，方差越大数据越分散。

为了便于理解，给大家介绍一个叫高尔顿钉板的东西，它长这样：

每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子正中间。从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间的距离的圆球，当小圆球向下降落过程中，碰到钉子后皆以1/2的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子。如此继续下去，直到滚到最下面底板的一个格子内为止。把许许多多同样大小的小球不断从入口处放下，只要球的数目相当大，它们在底板将堆成近似于正态的密度函数图形也就是中间高，两头低，左右对称的钟型曲线（如下图所示）。

假设这些小圆球代表钱，中间这两个通道的钱最多，如果我们现在把所有的钱都放在一起，那我们从这堆钱里面随机抽一个，预期抽到中间两个通道的钱的概率最大，因为它们多。正态分布它就是一个概率分布函数，最高点就是概率最大的。

我们再换一个思路，如果每个通道代表一个人，中间的就是首富了，那我们取均值，均值是不是靠近中间的首富，因为他们是在太有钱了，我们都被他们平均了，那我们会不会期望自己能够达到这个平均水平呢。此时均值就是我们的期望了。

在具有相同数量小球的情况下，通道越多，这些小球越分散，都去了不同的通道，通道越少，小球越集中在一个通道中。通道越多就可以理解为σ越大，即数据越分散，通道越少就理解为σ越小，即数据越集中。

那如何计算落在某一个给定区间内的概率是多少？其实就是计算这个区间内曲线下面积。

如上图所示，如果是求落在-3～1区间内的概率，计算的就是这个橘红色面积。

在正态分布中有一种特殊情况——标准正态分布，就相当于把正态分布的规律简化了，如下图所示：

即µ=0，σ=1，对应的横轴上的数值1、2、3就是1个标准差、 2个标准差、3个标准差；我们利用标准正态分布来说明面积规律就更简单了，可以直接说，以0为中心，在±1的范围内面积约为68.2%。

3、正态分布的特征数字

首先是一组数字68、95、99.7。

在正态分布中，以均数为中心，往左或往右1倍标准差的面积各约为34.1%换句话说，在士1个标准差的范围内，曲线下面积约为68% ，在士2个标准差的范围内曲线下面积约为 95% ，在士3个标准差的范围内面积约为99.7%。（如上图所示）

还有一个特征数字是1，即整个曲线与X轴围成的面积是1，因为一件事情发生的概率加在一起就是100%，也就是1。因为正态分布曲线与X所围成的曲线下面积是一个固定值1。该曲线图如下：

当µ不变的情况下，σ越小，数据越集中即曲线越瘦，又因为围成的面积是固定值1，那么这个曲线就需要更高，所以σ越小，曲线越瘦高；

σ越大，数据越分散，那么这个曲线就越宽，有因为围成的面积是固定值，那么曲线就需要更矮，所以σ越大，曲线越矮胖；

其中µ的大小只是曲线的左右平移，不影响曲线的高低。

4、数据不呈现正态分布处理方法

有几种方式：

1）加大样本量。根据中心极限定理，只要样本量足够大，就我们医学研究来说数据基本上最后都会呈现正态分布的。

2）数据转换。常见的方式有对数转换、平方根转换、倒数转换、还有Box-Cox转换。Box、Cox是两位统计学家的名字。是一种通过对数据进行幂函数转换来调整数据分布形态的方法。这个转换通过引入一个变换参数λ（lambda），使得变换后的数据更加接近正态分布，这个λ可以自动优化以最大限度地提高数据的正态性或对称性。这个方法可以根据数据的实际情况选择合适的转换参数，从而改善数据的正态性。

注意：做完转换之后要重新检测一下正态性，因为可能数据转换之后还引入了之前不存在的偏态，此外进行了转换的数据要考虑是它统计检验的意义。

3）换检验方法。比如说使用非参数检验。

4）换统计方法。线性回归、方差分析对正态性的要求比较高，而lasso这种对正态性要求比较低。

5、正态分布的应用

首先，我们经常说 P<0.05 认为差异有统计学意义，实际上说的就是正态分布的两侧面积。确切地说，当从均数往左或往右各 1.96 倍标准差的时候，对应的左侧和右侧面积之和就是 5% 。因为概率不是很高，所以认为其是小概率事件。

其次，在统计学中，许多假设检验都基于正态分布的假设。例如，t检验、z检验等等，这些检验方法用于判断两个样本均值之间是否存在显著差异。这些检验都假定数据来自正态分布的总体。

另外，置信区间估计：在一些数据分析中，我们常需要估计一个总体参数（如均值、方差等）的置信区间。当数据来自正态分布时，可以利用正态分布的性质来计算这些参数的置信区间。

最后预测和建模中也会要用到正态分布：在回归分析中，通常假设因变量在各自自变量取值下是正态分布的。这是线性回归模型的一个基本假设。如果数据不符合正态分布，那可能需要对数据进行转换。此外，在观察残差的分布时，如果残差近似服从正态分布，则表明模型拟合效果较好。在许多统计建模中，如线性模型、广义线性模型等，我们都需要假设因变量的分布符合正态分布。

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