NOI2026 做题记录 三

CF698F Coprime Permutation

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进行一些合理猜测。

1. 质因子集合相同的数可以任意互换：显然 \(\gcd(i, j)\) 与 \(1\) 的关系只与质因子集合有关。
2. 对于质数 \(x,y\) 而言，如果 \(\lfloor \frac{n}{x}\rfloor=\lfloor \frac n y \rfloor\)，我们可以将 \(x,y\) 的倍数整体互换。

我们通过打表，可以发现上面两个条件就是充分必要的，于是直接做即可。

CF1693F I Might Be Wrong

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结论：我们只有可能操作 \(c_0=c_1\) 的区间。

为什么呢？假如我们操作了一个区间 \(c_0-c_1=d>0\)，首先这个区间的第一个数必须是 \(1\)(如果是 \(0\)，不妨让左端点右移一位肯定更优），我们不妨重新选择一个右端点满足这个新的区间 \(c_0=c_1\)，那么我们只用了 \(1\) 的代价把一些 \(0\) 丢到了最左边，至少将问题递归到了 \(d-1\) 的子问题，如此递归，最多 \(d+1\) 次 \(c_0=c_1\) 的操作就可以完成原来的操作。

因此，每次操作，我们肯定要让区间的在包含第一个 \(1\) 的同时，让它的右端点越向右，同时满足 \(c_0=c_1\) 即可。时间复杂度 \(O(n)\)。

CF1299D Around the World

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翻译一下题意，我们可以删掉一些与 \(1\) 相连的边，删掉后，包含 \(1\) 的连通块内，不存在一个简单环的集合，满足这个集合的异或和为 \(0\)。

先删掉 \(1\)，对于每个连通块，如果这个连通块是线性有关的，那么这个连通块必须和 \(1\) 断开。否则可以和 \(1\) 连接，但是要求所有与 \(1\) 相连的连通块的所有简单环都是线性无关的。我们发现把把本题值域很小，一一因此考虑把所有简单环插入线性基内，对不同的线性基 DP 即可，复杂度 \(O((n+B)B)\)，其中 \(B\) 为不同的线性基个数，在本题 \(V\le 31\) 的条件下 \(B=374\)。

CF1554E You

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结论：每一种给 \(n-1\) 条边定向的方案与 \(a_u\) 的方案构成双射。

证明：我们考虑证明定向后每个节点的度数 \(deg_u\)，和 \(a_u\) 的定义等价，于是考虑证明不同的定向方向一定能产生不同的 \(deg_u\)。对于一个叶子节点 \(u\)，他与父亲的链边决定了的 \(deg_u\)；在确定叶子节点后我们把他删掉，不断迭代即可得到定向方案。

由此可以产生推论，\(\sum a_u=n-1\)；总方案数为 \(2^{n-1}\)。

如果 \(k>1\)，可以直接唯一确定定向方案，我们对于可能有答案的 \(k,k>1\)(即满足 \(k|n-1\)) 单独跑一遍暴力，剩下的所有方案都满足 \(k=1\)。本题最大的难点在构造双射。\(O(nd)\)，其中 \(d\) 为 \(n-1\) 的因子个数，可以通过一些分析做到 \(O(n\omega)\)，\(\omega\) 为 \(n-1\) 的质因子个数。

CF698F Coprime Permutation

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进行一些合理猜测。

1. 质因子集合相同的数可以任意互换：显然 \(\gcd(i, j)\) 与 \(1\) 的关系只与质因子集合有关。
2. 对于质数 \(x,y\) 而言，如果 \(\lfloor \frac{n}{x}\rfloor=\lfloor \frac n y \rfloor\)，我们可以将 \(x,y\) 的倍数整体互换。

我们通过打表，可以发现上面两个条件就是充分必要的，于是直接做即可。

CF1693F I Might Be Wrong

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结论：我们只有可能操作 \(c_0=c_1\) 的区间。

为什么呢？假如我们操作了一个区间 \(c_0-c_1=d>0\)，首先这个区间的第一个数必须是 \(1\)(如果是 \(0\)，不妨让左端点右移一位肯定更优），我们不妨重新选择一个右端点满足这个新的区间 \(c_0=c_1\)，那么我们只用了 \(1\) 的代价把一些 \(0\) 丢到了最左边，至少将问题递归到了 \(d-1\) 的子问题，如此递归，最多 \(d+1\) 次 \(c_0=c_1\) 的操作就可以完成原来的操作。

因此，每次操作，我们肯定要让区间的在包含第一个 \(1\) 的同时，让它的右端点越向右，同时满足 \(c_0=c_1\) 即可。时间复杂度 \(O(n)\)。

CF1299D Around the World

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翻译一下题意，我们可以删掉一些与 \(1\) 相连的边，删掉后，包含 \(1\) 的连通块内，不存在一个简单环的集合，满足这个集合的异或和为 \(0\)。

先删掉 \(1\)，对于每个连通块，如果这个连通块是线性有关的，那么这个连通块必须和 \(1\) 断开。否则可以和 \(1\) 连接，但是要求所有与 \(1\) 相连的连通块的所有简单环都是线性无关的。我们发现把把本题值域很小，一一因此考虑把所有简单环插入线性基内，对不同的线性基 DP 即可，复杂度 \(O((n+B)B)\)，其中 \(B\) 为不同的线性基个数，在本题 \(V\le 31\) 的条件下 \(B=374\)。

CF1554E You

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结论：每一种给 \(n-1\) 条边定向的方案与 \(a_u\) 的方案构成双射。

证明：我们考虑证明定向后每个节点的度数 \(deg_u\)，和 \(a_u\) 的定义等价，于是考虑证明不同的定向方向一定能产生不同的 \(deg_u\)。对于一个叶子节点 \(u\)，他与父亲的链边决定了的 \(deg_u\)；在确定叶子节点后我们把他删掉，不断迭代即可得到定向方案。

由此可以产生推论，\(\sum a_u=n-1\)；总方案数为 \(2^{n-1}\)。

如果 \(k>1\)，可以直接唯一确定定向方案，我们对于可能有答案的 \(k,k>1\)(即满足 \(k|n-1\)) 单独跑一遍暴力，剩下的所有方案都满足 \(k=1\)。本题最大的难点在构造双射。\(O(nd)\)，其中 \(d\) 为 \(n-1\) 的因子个数，可以通过一些分析做到 \(O(n\omega)\)，\(\omega\) 为 \(n-1\) 的质因子个数。

CF1852E Rivalries

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对于所有的 \(a_i=x\)，只有最左边的位置 \(l\) 和最右边的位置 \(r\) 是有用的，我们把每个数抽象成一个三元组 \((l, r, x)\)。

对于 \(x<y\)，如果有 \(x\) 的 \([l, r]\) 包含 \(y\) 的 \([l', r']\)，那么 \((l, r, x)\) 也是没有用的。去掉这些三元组后，每个三元组都会成为某些区间的权重，因此这些区间不能改变。对于一个保存下来的 \((l, r, x)\) 一定有 \(ans_l=ans_r=x\)。

另外还没有填的 \(i\)，令 \(b_i\) 为包含 \(i\) 的最大的 \((l, r, x)\)，我们显然可以让 \(ans_i=b_i\)。我们也可以让一些数填没有出现过的数 \(y\)，只要让最后 \((y, l, r)\) 完全被某一个 \(x\) 偏序即可。

容易发现我们最多只会填一个没有出现过的数。枚举偏序的元组 \((y, l, r)\)，则 \(x\) 为 \(<y\) 的最大的没有出现过的数，我们把所有 \(b_i>x\) 的 \(ans_i\) 变成 \(b_i\)，\(b_i<x\) 的 \(ans_i\) 变成 \(x\)。另外如果这样填，填完之后 \((x, l, r)\) 并没有被 \((y, l', r')\) 偏序的话，我们还要在 \([1, l'-1]\) 和 \([r'+1, n]\) 选一个代价最小的数，把他变成 \(x\)。

以上操作容易用线段树维护，时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

CF1267H Help BerLine

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首先选一些位置为 \(1\)，我们要保证这些 \(1\) 互不相邻。我们发现如果满足这个条件，并且删去所有 \(1\) 之后，剩下的序列也满足条件，那么加上这些点也一定是合法的。

归纳证明，加上一些 \(1\) 之后，倘若一个区间包含 \(>1\) 个 \(1\)，那么删掉这些 \(1\) 后这个区间肯定还有其他颜色。由于我们已经证明了上一层的子问题，所以当前区间也符合要求。

考虑如何选择尽可能多的 \(1\) 在任意时可不相邻。考虑贪心，按时间从后往前枚举点，如果他没被标记就把他选上，并且把出现时间在他之前的点标记。每选择一个点，我们最多标记两个点，因此至少可以选择 \(\lfloor \frac n 3 \rfloor\) 个 \(1\)，颜色总数是 \(\log_{\frac 3 2} n\) 规模的。

CF2096F Wonderful Impostors

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考虑求出所有的 \(p_r\) 表示最小的 \(l\) 满足 \([l, r]\) 是合法区间，用双指针求出这个数组。

当前合法的区间为 \([l, r]\)，我们现在尝试加入 \(r+1\)：

• 加入一个语句 \(1\)：判断 \([vl, vr]\) 是否至少有一个点没有被语句 \(0\) 覆盖。
• 加入一个语句 \(0\)：判断之前有没有语句 \(1\) \(x\) 因为这个语句而全部被覆盖。如果存在这样的 \(x\)，\(x\) 肯定与 \(r+1\) 有交，那么找到加上 \(r+1\) 后 \(r+1\) 左右两端第一个没有覆盖的点 \(vl,vr\)，那么 \(x\) 一定被 \((vl, vr)\) 包含，判断有没有这样的 \(x\) 即可。

如果可以加入 \(r+1\)，那我们直接加入；若不能，删掉 \(l\) 后接着判断。时间复杂度 \(O(n\log n)\)。

CF2097E Clearing the Snowdrift

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由于只会减最大值，考虑把所有最大值用一些操作减小到次大值，再将所有次大值减小到第三大值……

每次要用尽可能少的线段覆盖所有的最大值，令初始 \(p=1\)，若 \(p\) 不是当前最大值 \(p\gets p+1\)；否则我们覆盖 \([p, p+d-1]\)，再令 \(p\gets p+d\)。我们需要维护一个数据结构，将一个点改为当前最大值，并查询从 \(p=1\) 跳 \(d\) 边的次数，用 LCT 解决即可，复杂度 \(O(n\log n)\)。

CF2066E Tropical Season

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初始时我们要找到一对质量相等的桶，对他们进行比较后，可以获得所有 \(2k\) 的自由水量，记为 \(L\)。之后我们可以选择让一个 \(a_i\le L\)，令 \(L\gets L+a_i\)；或者选择 \(a_i,a_j>L,|a_i-a_j|\le L\)，并让 \(L\gets L+a_i+a_j\)。我们发现这个过程可以直接暴力跳，操作的次数不会超过 \(O(\log V)\) 次。

证明：如果吞并了比自己小的水桶，如果下一次还能吃且吃了 \(x\)，那么有 \(x>L\)，两次操作内 \(L\) 至少翻倍；如果 \(L\) 这一次吞了两个比他更大的，那么 \(L\) 直接变成原来的至少三倍。

用喜欢的数据结构维护即可，复杂度 \(O(q\log^2 V)\)。

CF2119F Volcanic Eruptions

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当前点与岩浆的距离不会增大。我们只需要保证终点合法即可。

当跳到一对相邻的 \(11\) 之后，我们可以无限延长路径。我们至多只会跳一对相邻的 \(11\)。

考虑解的形态。枚举最后的终点 \(t\)，我们在 \(st\to t\) 的路径上可能会选择走出路径跳一对 \(11\) 再走回来，在这之前的所有路径要求 \(-1,1\) 交错，这样把解分成了三个结构。预处理每个点出发到 \(11\) 对的最短路径，再从 \(st\) 开始 dfs，容易 \(O(n)\) 求出答案。

CF2127F Hamed and AghaBalaSar

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转化题意，我们把一个 \(a\) 分成尽可能多段，每一段的结尾都是 \(a_n\)，贡献即为每一段的结尾-开头值之和。

记 \(S(n, m, k)\) 表示 \(n\) 个变量 \(a_1\dots a_n\) 满足 \(a_i\in [0, k]\land \sum a_i=m\) 的合法的 \(a\) 的方案数。

枚举 \(a_n=k\)。

1. 每一段尾 \(i\) 的贡献，这里每出现一个结尾就会有 \(k\) 的贡献：

1. \(i=n\)，方案数为 \(S(n-1, m-k, k)\)。
2. \(i\neq n\)，方案数 \(S(n-2, m-k-k, k)\)。

2. 每一段开头的贡献：

1. \(i=1\)，要求 \(a_n=k\)，此时每个数是平等的，\(a_1\) 的期望即 \(\frac {m-k}{n-1}\)，方案有 \(S(n-1, m-k, k)\)。
2. \(i\in [2, n-1]\)，要求 \(a_{i-1}=a_n=k\)，\(a_i\) 的期望 \(\frac {m-k-k}{n-2}\)，方案数为 \(S(n-2, m-k-k, k)\)。
3. \(i=n\)，此时要求 \(a_{n-1}=a_n=k\)，方案数 \(S(n-2, m-k-k, k)\)，期望即为 \(k\)。

复杂度是调和级数 \((m\log m)\)。

CF2034H Rayan vs. Rayaneh

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等价于找到一个集合 \(S\)，满足 \(\forall x \in S,\gcd_{(y\in S \setminus x)} y \nmid x\)。

对每个 \(x\in S\) 分解质因子，条件可以看成，对于每个 \(x\)，满足存在质数 \(p\)，满足 \(p\) 在 \(x\) 中的次幂是严格最小的。

反过来思考，设 \(C=p_1^{r_1}\times p_2^{r_2}\times\dots\times p_k^{r_k}\)，\(f_x\) 为 \(a\) 中 \(x\) 的倍数个数，如果有 \(\forall i \in [1, k], f_{C/{p_i^{r_i}}}<f_C\)，那么我们就能找到一组 \(k\) 个数的解。

这里显然要求 \(C/{p_i^{r_i}}\le V=10^5\)，如果 \(k\ge 3\)，我们有最小的 \(p_i^{r_i}\le \sqrt V\)，那么 \(C\) 的个数不超过 \(V\sqrt V\) 个，可以直接暴搜枚举。\(k=2\) 时我们要找到一组 \(a_i,a_j\) 满足 \(a_i \nmid a_j \land a_j\nmid a_i\)，对于每个 \(i\) 判定一下是否所有的 \(a_j>a_i\) 的 \(a_j\) 都是 \(a_i\) 的倍数即可。

本题较为卡常，需要给暴搜加上减枝才可通过。