深入定量分析：永磁同步电机滑模观测器

1. 数学基础与问题表述

1.1 PMSM在定子坐标系下的数学模型

永磁同步电机在静止两相α-β坐标系下的电压方程是滑模观测器设计的出发点。其矢量形式为：

[uα; uβ] = Rs * [iα; iβ] + Ls * d/dt [iα; iβ] + [eα; eβ]

其中：

uα, uβ是定子端电压。
iα, iβ是定子电流。
Rs是定子电阻。
Ls是定子电感（对于隐极式电机，Ls = Ld = Lq；对于凸极式电机，处理方式不同，但观测器设计常基于此简化模型或使用扩展反电动势概念）。
eα, eβ是反电动势，包含转子位置信息。

反电动势eα, eβ的定量表达式为：

eα = -ψf * ωe * sin(θe)

eβ = ψf * ωe * cos(θe)

其中：

ψf是永磁体磁链。
ωe是电角速度。
θe是电角度。

我们的目标： 通过测量得到的uα, uβ和iα, iβ，设计一个观测器来估计出无法直接测量的eα, eβ，进而提取出θe和ωe。

2. 滑模观测器的设计与稳定性分析

2.1 观测器结构

我们构造一个与真实电机模型平行的“虚拟电机”（观测器）：

[ûα; ûβ] = Rs * [îα; îβ] + Ls * d/dt [îα; îβ] + [να; νβ]

注意两点：

îα, îβ是观测器估计的电流。
[να; νβ]是滑模控制项，这是观测器的核心，其设计目的是迫使估计电流跟踪实际电流。

在实际系统中，我们给真实电机和观测器施加相同的电压[uα; uβ]。因此，观测器方程变为：

d/dt [îα; îβ] = (-Rs/Ls) * [îα; îβ] + (1/Ls) * ([uα; uβ] - [να; νβ])(1)

2.2 定义误差动态系统

定义电流估计误差：[ĩα; ĩβ] = [îα; îβ] - [iα; iβ]

将观测器方程(1)减去真实电机方程，得到误差动态方程：

d/dt [ĩα; ĩβ] = d/dt [îα; îβ] - d/dt [iα; iβ]

= (-Rs/Ls) * [îα; îβ] + (1/Ls) * ([uα; uβ] - [να; νβ]) - { (-Rs/Ls) * [iα; iβ] + (1/Ls) * ([uα; uβ] - [eα; eβ]) }

= (-Rs/Ls) * [ĩα; ĩβ] + (1/Ls) * ([eα; eβ] - [να; νβ])(2)

2.3 滑模面设计与控制律

我们选择滑模面s为电流误差本身：

[sα; sβ] = [ĩα; ĩβ] = 0

这个滑模面的物理意义是：估计电流与实际电流完全一致。滑模控制的目标是设计[να; νβ]，使得系统状态[ĩα; ĩβ]被吸引到滑模面s=0上并保持在其上运动。

我们采用最经典的滑模控制律：

να = -h * sign(ĩα)

νβ = -h * sign(ĩβ)(3)

其中h是待设计的滑模增益（正数），sign()是符号函数。

2.4 李雅普诺夫稳定性分析（定量核心）

为了证明闭环系统的稳定性和确定增益h，我们使用李雅普诺夫直接法。

步骤1：选择李雅普诺夫候选函数。

我们选择一个正定且径向无界的函数：

V = (1/2) * sα² + (1/2) * sβ² = (1/2) * (ĩα² + ĩβ²)**(4)`

显然，V > 0对于所有[ĩα; ĩβ] ≠ [0; 0]，且V(0) = 0。

步骤2：求李雅普诺夫函数的时间导数。

dV/dt = dV/dĩα * dĩα/dt + dV/dĩβ * dĩβ/dt = ĩα * dĩα/dt + ĩβ * dĩβ/dt**(5)`

将误差动态方程(2)代入(5)：

dV/dt = ĩα * [ (-Rs/Ls)ĩα + (1/Ls)(eα - να) ] + ĩβ * [ (-Rs/Ls)ĩβ + (1/Ls)(eβ - νβ) ]

= (-Rs/Ls)(ĩα² + ĩβ²) + (1/Ls) [ ĩα(eα - να) + ĩβ(eβ - νβ) ]**(6)`

步骤3：保证导数负定。

将控制律(3)代入(6)：

dV/dt = (-Rs/Ls)(ĩα² + ĩβ²) + (1/Ls) [ ĩα(eα + h sign(ĩα)) + ĩβ(eβ + h sign(ĩβ)) ]

我们知道ĩα * sign(ĩα) = |ĩα|，ĩβ * sign(ĩβ) = |ĩβ|。因此：

dV/dt = (-Rs/Ls)(ĩα² + ĩβ²) + (1/Ls) [ eαĩα + eβĩβ + h(|ĩα| + |ĩβ|) ]**(7)`

根据柯西-施瓦茨不等式，eαĩα + eβĩβ ≤ |eα| |ĩα| + |eβ| |ĩβ| ≤ |E| √(ĩα² + ĩβ²)，其中|E| = √(eα² + eβ²)是反电动势的幅值。一个更紧的界是：

eαĩα + eβĩβ ≤ |eα| |ĩα| + |eβ| |ĩβ| ≤ max(|eα|, |eβ|) (|ĩα| + |ĩβ|) ≤ |E| (|ĩα| + |ĩβ|)**(8)`

将(8)代入(7)：

dV/dt ≤ (-Rs/Ls)(ĩα² + ĩβ²) + (1/Ls) [ |E| (|ĩα| + |ĩβ|) + h (|ĩα| + |ĩβ|) ]

= (-Rs/Ls)(ĩα² + ĩβ²) + (1/Ls) (h + |E|) (|ĩα| + |ĩβ|)(9)

要使dV/dt < 0（对所有[ĩα; ĩβ] ≠ 0），一个充分条件是让(9)式右边的第二项被第一项的负性所主导。虽然(9)式不完全直观，但我们可以通过分析每个通道的稳定性来获得一个更清晰、实用的条件。

我们单独分析α轴。考虑李雅普诺夫函数Vα = (1/2) ĩα²。其导数为：

dVα/dt = ĩα * dĩα/dt = ĩα * [ (-Rs/Ls)ĩα + (1/Ls)(eα - να) ]

= (-Rs/Ls)ĩα² + (1/Ls) ĩα (eα + h sign(ĩα))

= (-Rs/Ls)ĩα² + (1/Ls) (eα ĩα + h |ĩα|)(10)

要保证dVα/dt < 0（对所有ĩα ≠ 0），只需保证：

eα ĩα + h |ĩα| < 0对于ĩα ≠ 0成立。

这等价于：

h |ĩα| < - eα ĩα

当ĩα > 0时，条件变为h < -eα。
当ĩα < 0时，条件变为h > eα（因为ĩα为负，不等式变向）。

综合起来，要保证α轴误差收敛的充分条件是：

h > |eα|**(11a)`

同理，对于β轴：

h > |eβ|(11b)

因此，保证整个系统稳定的充分条件是滑模增益h大于反电动势幅值的上界：

h > |E|max = ψf * ωe_max(12)

结论： 只要滑模增益h根据电机参数和最大运行速度按式(12)选择，李雅普诺夫函数导数dV/dt就会负定，系统状态[ĩα; ĩβ]将全局渐近收敛到滑模面s=0。

3. 滑模运动的等效控制与信号提取

3.1 等效控制原理

当系统状态到达滑模面s=0并保持在其上时，称为发生了理想的滑模运动。此时，误差及其导数均为零：[ĩα; ĩβ] = 0且d/dt [ĩα; ĩβ] = 0。

令误差动态方程(2)为零：

0 = (-Rs/Ls) * 0 + (1/Ls) * ([eα; eβ] - [να; νβ])

=> [eα; eβ] = [να; νβ](13)

这表明，在理想滑模运动下，滑模控制量[να; νβ]恰好等于我们想要观测的反电动势[eα; eβ]。

3.2 实际应用与低通滤波

然而，实际中不存在理想的开关。控制律(3)会产生高频抖动的信号[να; νβ]。根据等效控制原理，这个高频信号的低频分量（平均值）就等于反电动势。

因此，我们需要对[να; νβ]进行低通滤波以提取有用的反电动势信息[êα; êβ]：

êα = LPF(να) = LPF(-h * sign(ĩα))

êβ = LPF(νβ) = LPF(-h * sign(ĩβ))(14)

滤波器设计要点：

截止频率选择： 截止频率ωc必须远小于滑模开关频率（由控制器采样频率决定），以有效滤除高频噪声。
相位延迟补偿： 更重要的是，ωc必须远大于电机的最高电频率ωe_max，以避免对反电动势信号产生过大的相位滞后。这个滞后会直接导致估计的位置角产生偏差。通常选择ωc > (5 ~ 10) * ωe_max。如果滞后恒定，可以在后续的锁相环中进行补偿。