在前面几篇文章中我们已经写下了一系列方程，这些方程从数学上定义了奇异值分解 (SVD) 的各个分量以及它们与输入矩阵 M 的关系。现在，让我们通过一些可视化，使这些导出的分量更加具象化。
图 1：方阵 M 的奇异值分解的 U 、 S 和 V 的可视化，其中 m=n
图 1：方阵 SVD 的“标准形态”（4×4 的例子）
这张图里有 4 个同样大小的热力图，从左到右可以理解为：
① 左一：原始矩阵 A
颜色红/蓝代表正负与大小，这就是你要分解的“混合变换”。
② 左二：U（左奇异向量矩阵）
U 的列向量是一组正交单位基。
它的本质作用：
在输出空间里定义“最舒服的坐标轴”（一组正交方向）
你可以把它当成：把坐标系旋转到某个新方向
性质：
③ 左三：Σ（奇异值矩阵，只有对角线亮）
你会看到大部分格子都接近 0（深蓝），只有对角线上有几个明显的亮块。
这就是 SVD 最“灵魂”的部分：
Σ 只做一件事：沿着某些轴做伸缩（拉伸/压缩）
对角线元素
就是奇异值
性质：
④ 右一：![]()
（右奇异向量的转置）
V 的列向量也是一组正交单位基，但它属于“输入空间”。
它的作用：
在输入空间里先把向量换一套坐标系（旋转/镜像）
你可以理解为：把输入方向对齐到“最容易被拉伸的方向”
性质：
✅图 1 的一句话总结：
A(任意复杂)=U(输出旋转) Σ(轴向缩放)![]()
(输入旋转)
图 2：高矩阵 M 的奇异值分解的 U 、 S 和 V 的可视化，其中 m>n 。
图 2：矩形矩阵的 SVD（“不是方阵也能拆！”）
这张图的关键点是：中间那个 Σ 变成“长方形对角阵”。
你会看到一个高高的深蓝矩阵，里面斜对角有几块亮色方块——这就是：
比如 m>n（高矩阵）时：
Σ 最多只有n个奇异值
也就是说最多只有 min(m,n) 个“有效拉伸方向”
所以矩形矩阵的 SVD 依然成立：
✅图 2 的一句话总结：
矩阵不必是方阵，SVD 仍然能把它拆成“旋转 + 拉伸 + 旋转”，只不过拉伸那一步的 Σ 是长方形。
图 3：宽矩阵 M 的奇异值分解的 U 、 S 和 V 的可视化，其中 m<n 。
图 3：SVD 的“秩”与“信息量”——为什么只亮了几格？
你会注意到：第三张图里有一个 Σ（或类似形态）只亮了很少几个对角块，这在暗示一个超重要事实：
很多矩阵虽然看起来很乱，但真正“有用的结构”只集中在前几个奇异值上。
SVD 有一个等价表达式特别关键：
这句话很炸裂，它说：
每一项
都是一个秩 1 矩阵
是“一个方向 × 另一个方向”的外积
决定这一项的“贡献强弱”
所以你在热力图里看到的效果就是：
第一项（σ1）贡献最大
后面的项越来越小
小到可以忽略，就像图里“几乎没颜色”
✅图 3 的一句话总结：
A 可以看成很多个“秩 1 图案”的叠加，而真正重要的往往只有前几个。
图 4，奇异向量构成正交基
左列显示了对随机矩阵 [m×n]=[10×5] 进行奇异值分解 (SVD) 后得到的 U 和 VT 矩阵。中间列绘制了沿每个矩阵的奇异向量（列）计算的 L2 范数；所有奇异向量的范数均为 1。右列显示了每个矩阵与其自身的内积；该内积为单位矩阵，表明奇异向量的正交性。
图 4：最核心的一张——“完整 SVD” vs “截断 SVD（低秩近似）”
这张图上下两排就是在对比：
上排：完整 SVD
左：原矩阵 A（看起来噪声很多）
中：U 或 V（用“竖条纹”表示它的列向量是正交单位基——每一列长度为 1，彼此垂直）
右：Σ（对角线全亮：表示你保留了全部奇异值）
下排：截断 SVD（只保留前 k 个奇异值）
右下角的只剩前几个亮块，这意味着：
它的含义是：
我只用最强的前 k 个“主方向”
丢掉后面那些弱小的、像噪声一样的方向
⚡这件事有一个世界级结论（SVD 的王炸性质）：
是所有秩为 k 的矩阵里，离 A 最近的那个（误差最小）
（不管你用 Frobenius 范数还是 2-范数）
也就是：
✅图 4 的一句话总结：
SVD 不只是分解，它还能做“最优压缩/降噪”，只保留最重要的 k 个模式。
图 5 以可视化的方式展示了图 4 中计算/展示的 SVD 结果的三个属性。
这张图其实是在用可视化把图 4 的 SVD 结果的3 个关键属性“钉死在眼睛里”。我按从上到下、从左到右，把它归纳成 3 点：
①（最上面两张长条热力图）SVD 可以把原矩阵“完全重构”
你看到左上、右上两张几乎一模一样的长方形热力图：
左上：原始矩阵 M
右上：用 SVD 分解再乘回去得到的重构矩阵
它们一致，说明一个事实：
✅SVD 不是近似方法，它首先是一个“精确分解”
只要保留全部奇异值（完整 Σ），就能100%还原原矩阵。
②（中间两张方阵热力图）![]()
与![]()
的“非零谱”相同
中间那两张方阵热力图也是几乎一模一样：
左中：
（输出空间的 Gram/协方差型矩阵）
右中：
（输入空间的 Gram/协方差型矩阵）
它们“谱意义上的等价”是 SVD 的核心桥梁：
✅ 所以结论是：
两者的非零特征值完全相同
并且都等于
这就是为什么：
U 来自
的特征向量
V 来自
的特征向量
Σ 统一管理它们的“强度”（奇异值）
③（最下面两张折线图）奇异值衰减曲线 + “平方关系”被验证
底部两张图分别在讲两个重点：
左下红色折线：奇异值谱（Singular Value Spectrum）
红线明显从大到小下降，说明：
σ1 最大，代表“最主要结构”
越往后越小，代表“次要结构 / 细节 / 噪声”
✅ 这就是低秩近似为什么成立：
只用前 k 个奇异值就能抓住大部分信息：
右下蓝线 vs 黄虚线：两边特征值几乎重合
图例写着：
蓝色：eigs of
黄色虚线：eigs of
两条线几乎重合，视觉上证明了第②点：
✅它们的非零特征值相同
而结合 SVD 的关系就是：
一句话总归纳（这图展示的 SVD 三大属性）
可重构性：完整 SVD 能精确还原矩阵
双 Gram 同谱：
与
共享同一组非零特征值（=
）
能量集中：奇异值快速衰减 → 信息主要集中在前几个 → 低秩近似/压缩/降噪成立
把 SVD 原理“讲透”的一条主线
你可以把 SVD 牢牢记成下面这 5 句话（完全够你吃透它）：
1）SVD 是在描述一个线性变换如何扭曲空间
把单位圆（或单位球）经过 A 变换，会变成一个椭圆（或椭球）。
椭球的主轴方向：由 U 给出（输出空间）
椭球主轴长度：由
给出
输入空间对齐主轴的方向：由 V 给出
2）V 给“输入最敏感的方向”，U 给“输出对应的方向”
这句是 SVD 的核心物理意义：
往
方向输入一个单位向量
输出一定落在
方向
长度被放大/缩小
倍
3）奇异值来自特征值：SVD 其实是“把特征分解做到了任意矩阵”
所以：
是
的特征向量
是
的特征向量
是对应特征值
4）SVD = 旋转 + 拉伸 + 再旋转
对任意向量 x：
按步骤读就是：
：把输入坐标系旋转到“主方向坐标系”
：沿各轴拉伸/压缩
：再旋转到输出空间
5）截断 SVD 是“最优低秩近似”，也是 PCA、压缩、去噪的底层
这就是：
图片压缩（只保留主要纹理）
推荐系统矩阵补全
NLP 里的语义空间压缩
PCA 的矩阵版本
图 1～图 3 下面那条带刻度的长条，叫做颜色条 / 色标（colorbar），它的作用是：
把“颜色”翻译成“数值大小”
让你知道热力图里每个格子的颜色到底对应多大、是正还是负。
1）它表示什么数？
热力图里的每一个小格子，对应矩阵里的一个元素 aija_{ij}aij。
颜色条告诉你：
蓝色→ 数值是负数（越蓝越小、越负）
白色→ 数值接近0
红色→ 数值是正数（越红越大、越正）
所以它本质上就是：
![]()
(数值)
2）为什么中间通常是白色？
因为很多绘图默认用的是“发散色图”（diverging colormap），把0放在中间：
负数往一边渐变成蓝
正数往另一边渐变成红
这样你能一眼看出“符号”和“强弱”。
3）刻度代表什么？
刻度就是具体数值范围，比如可能会标：
意思是：
如果某个格子颜色接近最蓝端，说明这个元素大约接近-3
接近白色，说明接近0
接近最红端，说明接近+3
4）为什么图 1～图 3 每张都有一条？
因为每张图（每个矩阵）都在用颜色表示数值，
没有 colorbar，你只能看“红蓝分布”，但不知道：
到底最大值是多少？
是不是正负对称？
两幅热力图之间能不能公平比较？
colorbar 就是统一的“数值尺子”。
5）特别关键：同一张图内，colorbar 的范围通常是统一的
比如图 1 的 4 个矩阵（）往往共享同一个 colorbar 范围，这样才能直接比较：
A 的元素可能在 [−2,2]
Σ 可能只有对角线比较亮
多数元素在 [−1,1]（因为它们是正交矩阵，元素一般不会很大）
所以你看到 U 和很“淡”，并不是它们不重要，而是因为它们数值本来就通常比较小（接近 -1 到 1），但依然在做旋转/镜像。
✅一句话总结：
那条长条就是“颜色—数值对照表”，告诉你红蓝到底代表多少、正负如何分布。
