【题解】雪人三元组统计问题（循环移位 + 条件拆分优化）

题目大意

给定三个长度为 n 的循环数组 a、b、c（循环数组指元素可循环访问，如 a[n] 等价于 a[0]），统计合法三元组 (i, j, k) 的数量，满足：对所有 t ∈ [0, n-1]，均有 a[(i + t) % n] < b[(j + t) % n] < c[(k + t) % n]。其中 i, j, k 为数组的起始下标（范围 0 ≤ i,j,k < n），多组测试用例输入。

解题思路

1. 暴力解法（瓶颈分析）

暴力思路：枚举所有可能的三元组 (i, j, k)（共 n³ 种），对每个三元组遍历 n 个位置验证 a < b < c 的条件。复杂度分析：时间复杂度为 O(t * n⁴)（t 为测试用例数），当 n 达到 5000 时，n⁴ 是天文数字（约 6.25×10¹⁷），完全无法通过时间限制。

2. 第一次优化：循环移位等价性

1. 核心观察
   三元组 (i, j, k) 与 (i - (j-1) mod n, 1, k - (j-1) mod n) 是等价的：
   循环数组的特性决定了，将 j 固定为 1 时，只需将 i 和 k 同步移位（模 n），得到的雪人序列仅循环顺序改变，a < b < c 的条件是否满足完全不变。
   因此，所有 j ≠ 1 的情况均可映射到 j = 1 的情况，只需计算 j = 1 时的合法 (i, k) 对数，最终结果乘以 n（覆盖 j 的 n 种选择）。
2. 复杂度优化
   枚举量从 n³ 降至 n²，验证每个 (i, k) 仍需 n 次，时间复杂度优化为 O(t * n³)，但 n=5000 时 n³=1.25×10¹¹，仍超时。

3. 第二次优化：条件独立性拆分

1. 核心观察
   i 和 k 的合法性是相互独立的：
   合法 i 的条件：仅与 a 和 b 相关，即对所有 t，a[(i + t) % n] < b[t]（j=1 时 b[(j + t) % n] = b[t]）；
   合法 k 的条件：仅与 b 和 c 相关，即对所有 t，c[(k + t) % n] > b[t]；
2. 优化逻辑
   单独统计 j=1 时合法 i 的数量（记为 cnt_i）；
   单独统计 j=1 时合法 k 的数量（记为 cnt_k）；
   最终答案 = cnt_i * cnt_k * n（*n 对应 j 的所有可能）。
3. 复杂度优化
   时间复杂度降至 O(t * n²)，n=5000 时 n²=25×10⁶，完全满足时间限制。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;void solve() {int n;cin >> n;// 初始化三个循环数组，长度为nvector<int> a(n), b(n), c(n);for (auto &x : a) cin >> x;for (auto &x : b) cin >> x;for (auto &x : c) cin >> x;// cnt_i：j=1时合法i的数量；cnt_k：j=1时合法k的数量LL cnt_i = 0, cnt_k = 0;// 统计合法的i：所有t满足a[(i+t)%n] < b[t]for (int i = 0; i < n; i++) {bool valid = true;for (int step = 0; step < n; step++) {// 循环访问a的第(i+step)个元素（模n实现循环）if (a[(i + step) % n] >= b[step]) {valid = false;break; // 提前退出，减少无效计算}}if (valid) cnt_i++;}// 统计合法的k：所有t满足c[(k+t)%n] > b[t]for (int k = 0; k < n; k++) {bool valid = true;for (int step = 0; step < n; step++) {if (c[(k + step) % n] <= b[step]) {valid = false;break;}}if (valid) cnt_k++;}// 最终答案：合法(i,k)对数 * n（覆盖j的所有选择）cout << cnt_i * cnt_k * n << "\n";
}int main() {// 关闭cin/cout同步，提升输入输出效率（处理大数据量必备）ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);int t;cin >> t;while (t--) solve();return 0;
}