人工智能之核心技术 深度学习
第一章 神经网络基础—公式关注公众号
文章目录
- 人工智能之核心技术 深度学习
- 一、感知器模型
- 1.1 线性感知器（Perceptron）
- 1.2 多层感知器（MLP, Multi-Layer Perceptron）
- 二、激活函数
- 常见激活函数对比
- 激活函数图像（示意）
- 三、神经网络结构设计
- 3.1 各层作用
- 3.2 设计原则
- （1）隐藏层数量
- （2）每层神经元数量
- 四、配套代码实现（PyTorch）
- 五、万能近似定理（Universal Approximation Theorem）
- 总结
- 资料关注
一、感知器模型
1.1 线性感知器（Perceptron）
结构：
线性感知器是最简单的神经网络单元，由 Frank Rosenblatt 在 1957 年提出。它模拟生物神经元：接收多个输入，加权求和后通过一个激活函数输出结果。
数学表达式为：
y = f ( ∑ i = 1 n w i x i + b ) y = f\left( \sum_{i=1}^{n} w_i x_i + b \right)y=f(i=1∑nwixi+b)
其中：
- x i x_ixi是第i ii个输入
- w i w_iwi是对应的权重
- b bb是偏置（bias）
- f ( ⋅ ) f(\cdot)f(⋅)是激活函数（感知器中通常为阶跃函数）
原理：
感知器试图学习一个线性决策边界（超平面），将两类数据分开。如果数据线性可分，感知器学习算法可以收敛到正确解。
局限性：
感知器只能解决线性可分问题。经典反例是异或（XOR）问题：
| x₁ | x₂ | XOR |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
这四点无法用一条直线完全分开（如下图所示），因此单层感知器无法学习 XOR。
💡关键结论：单层感知器 = 线性分类器 → 无法处理非线性问题。
1.2 多层感知器（MLP, Multi-Layer Perceptron）
为了解决感知器的局限性，人们引入了隐藏层，形成了多层感知器（MLP）。
- 结构：输入层 → 一个或多个隐藏层 → 输出层
- 核心思想：通过堆叠非线性变换，组合出复杂的决策边界，从而拟合非线性函数（如 XOR）
XOR 的 MLP 解决方案（2 层）：
- 隐藏层有 2 个神经元，分别学习“AND”和“OR”逻辑
- 输出层组合它们实现 XOR
✅突破：MLP + 非线性激活函数 → 可以逼近任意连续函数（万能近似定理）
二、激活函数
激活函数赋予神经网络非线性表达能力。如果没有激活函数，无论多少层，网络都等价于一个线性模型。
常见激活函数对比
| 激活函数 | 公式 | 优点 | 缺点 | 适用场景 |
|---|---|---|---|---|
| Sigmoid | $ \sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} $ | 输出在 (0,1)，适合概率输出 | 梯度消失、输出非零中心 | 二分类输出层 |
| Tanh | $ \tanh(x) = \frac{e^x - e{-x}}{ex + e^{-x}} $ | 零中心、比 Sigmoid 梯度更强 | 仍存在梯度消失 | 隐藏层（早期） |
| ReLU | $ \text{ReLU}(x) = \max(0, x) $ | 计算快、缓解梯度消失 | “神经元死亡”（负区梯度为0） | 默认隐藏层激活函数 |
| Leaky ReLU | $ \text{LReLU}(x) = \begin{cases} x & x > 0 \ \alpha x & x \leq 0 \end{cases} $ | 解决 ReLU 死亡问题 | 需调超参α \alphaα | ReLU 的改进版 |
| Softmax | $ \text{Softmax}(z_i) = \frac{e^{z_i}}{\sum_j e^{z_j}} $ | 多分类概率归一化 | 仅用于输出层 | 多分类任务输出层 |
激活函数图像（示意）
📌现代实践建议：
- 隐藏层优先使用ReLU或Leaky ReLU
- 二分类输出用Sigmoid
- 多分类输出用Softmax
三、神经网络结构设计
3.1 各层作用
| 层类型 | 作用 |
|---|---|
| 输入层 | 接收原始特征（如像素值、文本向量），不做计算，仅传递 |
| 隐藏层 | 提取特征、学习数据的抽象表示（层数越多，抽象能力越强） |
| 输出层 | 生成最终预测（分类概率、回归值等），激活函数依任务而定 |
3.2 设计原则
（1）隐藏层数量
- 浅层网络（1~2 层）：适用于简单任务、小数据集
- 深层网络（>3 层）：适用于复杂任务（图像、语音），但需足够数据和正则化
⚠️ 并非越深越好！过深可能导致：
- 梯度消失/爆炸
- 过拟合
- 训练困难
（2）每层神经元数量
- 输入层神经元数 = 特征维度
- 输出层神经元数 = 类别数（分类）或 1（回归）
- 隐藏层神经元数：经验法则
- 通常介于输入与输出之间
- 常用：$ N_h = \frac{N_{in} + N_{out}}{2} $ 或 $ N_h = \sqrt{N_{in} \times N_{out}} $
- 也可采用“金字塔”结构（逐层减少）
🔧实用技巧：
- 从简单结构开始（如 1 隐藏层，64 神经元）
- 用验证集调参（Grid Search / Random Search）
- 使用 Dropout、BatchNorm 提升泛化
四、配套代码实现（PyTorch）
以下是一个完整的 MLP 实现，用于解决 XOR 问题：
importtorchimporttorch.nnasnnimporttorch.optimasoptim# XOR 数据X=torch.tensor([[0,0],[0,1],[1,0],[1,1]],dtype=torch.float32)y=torch.tensor([[0],[1],[1],[0]],dtype=torch.float32)# 定义 MLP 模型classXOR_MLP(nn.Module):def__init__(self):super().__init__()self.hidden=nn.Linear(2,4)# 输入2维，隐藏层4神经元self.output=nn.Linear(4,1)# 输出1维self.relu=nn.ReLU()self.sigmoid=nn.Sigmoid()# 二分类输出defforward(self,x):x=self.relu(self.hidden(x))x=self.sigmoid(self.output(x))returnx# 实例化模型、损失函数、优化器model=XOR_MLP()criterion=nn.BCELoss()# 二元交叉熵optimizer=optim.SGD(model.parameters(),lr=0.1)# 训练forepochinrange(1000):optimizer.zero_grad()pred=model(X)loss=criterion(pred,y)loss.backward()optimizer.step()ifepoch%200==0:print(f"Epoch{epoch}, Loss:{loss.item():.4f}")# 测试withtorch.no_grad():output=model(X)print("\n预测结果:")foriinrange(4):print(f"输入:{X[i].tolist()}-> 预测:{output[i].item():.4f}(真实:{y[i].item()})")输出示例：
Epoch 0, Loss: 0.7032 Epoch 200, Loss: 0.0321 ... 预测结果: 输入: [0.0, 0.0] -> 预测: 0.0123 (真实: 0.0) 输入: [0.0, 1.0] -> 预测: 0.9876 (真实: 1.0) ...✅ 成功解决 XOR！
五、万能近似定理（Universal Approximation Theorem）
定理：一个具有单隐藏层和足够多神经元的前馈神经网络，只要使用非线性激活函数，就可以以任意精度逼近任何定义在紧集上的连续函数。
这意味着：理论上，一个隐藏层就足够强大。但实践中，深层网络更高效（用更少参数表达复杂函数）。
总结
| 概念 | 关键点 |
|---|---|
| 感知器 | 线性模型，无法解决 XOR |
| MLP | 引入隐藏层 + 非线性激活 → 解决非线性问题 |
| 激活函数 | 赋予非线性能力，ReLU 是默认选择 |
| 网络结构 | 输入→隐藏→输出；深度/宽度需平衡 |
资料关注
公众号：咚咚王
gitee：https://gitee.com/wy18585051844/ai_learning
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