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🔥 内容介绍
一、 引言：物流人头疼的 CVRP 难题，到底难在哪？
1.1 从快递配送看 VRP 的现实意义
在电商行业蓬勃发展的当下，每年的 “双 11”“618” 大促期间，海量的快递订单如潮水般涌来。你是否想过，快递企业是如何在短时间内，调度有限的车辆，将这些包裹准确无误地送到千家万户的呢？这背后，就涉及到运筹学中的经典难题 —— 车辆路径规划问题（Vehicle Routing Problem，VRP）。
VRP 的核心目标，是在满足客户需求的前提下，实现配送成本最低、效率最高。无论是快递配送、生鲜运输，还是城市公交路线规划，VRP 都发挥着关键作用。合理的路径规划，不仅能降低物流成本，还能提高服务质量，增强客户满意度。然而，实际场景中的 VRP 问题，往往比理论模型复杂得多。其中，带容量和体积双重约束的 CVRP 问题，更是让物流从业者头疼不已。
1.2 CVRP 的 “拦路虎”：容量 + 体积约束与 NP-hard 属性
带容量和体积约束的车辆路径规划问题（Capacitated Vehicle Routing Problem，CVRP），可以简单描述为：有多个客户需要配送货物，每个客户有不同的需求量，配送车辆的数量有限，且每辆车都有固定的容量和体积限制。车辆从仓库出发，需要遍历所有客户，最终返回仓库，同时要满足每辆车装载的货物总重量不超过其容量，总体积不超过其容积，目标是找到总行驶距离最短的配送方案。
听起来是不是很有挑战性？更棘手的是，CVRP 属于 NP-hard 问题。这意味着，随着客户数量的增加，问题的计算复杂度呈指数级增长，传统的精确算法很难在合理的时间内找到最优解。例如，当客户数量达到一定规模时，分支定界法、动态规划等精确算法，可能需要计算数小时甚至数天，这在实际应用中是无法接受的。因此，寻找高效的近似算法，成为了解决 CVRP 问题的关键。
1.3 本文核心看点：遗传算法如何精准 “驯服” 约束型 CVRP
在众多近似算法中，遗传算法（Genetic Algorithm，GA）凭借其强大的全局搜索能力和良好的适应性，成为了解决 CVRP 问题的热门选择。遗传算法模拟生物进化过程，通过选择、交叉和变异等操作，不断迭代优化，逐步逼近最优解。
接下来，本文将从遗传算法的基本原理入手，详细介绍如何将其应用于带容量和体积约束的 CVRP 问题求解。我们将深入探讨遗传算法的编码方式、适应度函数设计、遗传操作实现等关键环节，并结合实际案例，展示遗传算法在解决 CVRP 问题中的优势和潜力。无论你是物流行业的从业者，还是对优化算法感兴趣的技术爱好者，相信本文都能为你提供有价值的参考和启发。
二、 基础扫盲：搞懂这两个概念，才算入门
2.1 车辆路径规划（VRP）与带约束 CVRP 的核心区别
车辆路径规划问题（VRP）最早可追溯到 20 世纪 50 年代，由 Dantzig 和 Ramser 提出 ，旨在解决现实世界中配送、货运等问题。其基本框架是：有一个配送中心和多个客户，车辆从配送中心出发，访问各个客户后再返回配送中心，目标是找到一组最优的车辆行驶路径，使得总行驶距离最短、运输成本最低或其他目标最优。
而带容量和体积约束的 CVRP，是 VRP 的一个重要变种。与普通 VRP 相比，CVRP 增加了车辆载货能力限制这一重要约束条件，要求车辆在配送过程中，任何时候的货物总量不能超过其载货能力和容积限制。这一变化使得 CVRP 更贴近现实世界中的约束条件，也增加了问题的复杂性。
例如，在快递配送场景中，一辆货车的最大载重为 5 吨，容积为 10 立方米。现在有三个客户的包裹需要配送，客户 A 的包裹重 2 吨，体积为 3 立方米；客户 B 的包裹重 3 吨，体积为 4 立方米；客户 C 的包裹重 1 吨，体积为 5 立方米。如果不考虑容量和体积约束，可能会规划出一条让货车依次访问 A、B、C 客户的路径。但实际上，当货车装载完 A 和 B 客户的包裹后，已经达到了载重上限 5 吨，且体积也达到了 7 立方米，无法再装载 C 客户的包裹。因此，在 CVRP 中，需要综合考虑车辆的容量和体积限制，合理安排车辆的配送路径，可能会安排两辆货车，分别配送不同客户的包裹。
2.2 遗传算法：模仿生物进化的 “智能优化神器”
遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是一种受自然选择启发的优化算法，由美国的 John Holland 于 20 世纪 70 年代提出 。其核心原理源于达尔文的生物进化论，模拟了自然界中 “物竞天择、适者生存” 的进化过程。在遗传算法中，将优化问题的候选解看作生物群体中的 “个体”，每个个体的 “基因” 对应解的参数。通过模拟生物进化中的选择、交叉、变异等操作，让群体中 “适应性强”（即更接近最优解）的个体保留并繁衍，“适应性弱” 的个体被淘汰，最终使群体逐渐逼近最优解。
遗传算法的基本流程如下：
初始化种群：随机生成一组候选解（个体），这些个体组成了初始种群。种群规模是一个重要参数，它会影响算法的性能和搜索空间的覆盖范围。
适应度评估：定义适应度函数，计算每个个体的适应度值。适应度值反映了个体对环境的适应能力，也就是解的优劣程度。在 CVRP 中，适应度函数通常与总行驶距离、车辆使用数量等因素相关，总行驶距离越短、车辆使用数量越少，适应度值越高。
选择：根据适应度选择优秀个体进入下一代。选择操作的目的是让适应度高的个体有更高的概率被选中，从而将它们的基因传递给下一代。常用的选择方法有轮盘赌选择、锦标赛选择等。
交叉：通过交叉操作产生新个体。交叉操作模拟了生物繁殖过程中的基因重组，将两个选中的个体（父代染色体）按一定概率（交叉概率）交换部分基因，生成新个体（子代染色体）。交叉操作可以增加群体的多样性，有助于搜索到更优的解。
变异：对个体进行随机变异。变异操作以一定的概率（变异概率）对个体的基因进行随机改变，例如在 CVRP 中，随机调整路径中的客户顺序。变异操作可以避免群体陷入局部最优，保持群体的多样性。
终止条件判断：满足条件则停止，否则返回步骤 2 继续迭代。终止条件通常包括达到预设的迭代次数、最优个体的适应度不再提升等。
遗传算法具有全局搜索能力强、不需要目标函数的导数信息、可以处理离散和连续变量混合的问题等优点，非常适合解决像 CVRP 这样的复杂优化问题。
2.2.1 遗传算法三大核心操作：选择、交叉、变异
在遗传算法中，选择、交叉和变异是三个核心操作，它们共同作用，推动种群不断向最优解进化。
选择：选择操作是从当前种群中筛选出适应度高的个体，使其有更高概率繁衍后代，类似于自然界中的 “适者生存”。在 CVRP 中，选择操作可以挑选出路径更短、更能满足容量和体积约束的 “优质父代”。例如，采用轮盘赌选择法，每个个体被选中的概率与其适应度成正比。适应度越高的个体，在轮盘上所占的面积越大，被选中的概率也就越大。这样可以保证优秀的个体有更多机会将其基因传递给下一代，从而逐步提高种群的整体质量。
交叉：交叉操作是将两个选中的个体（父代染色体）按一定概率交换部分基因，生成新个体（子代染色体）。在 CVRP 中，交叉操作可以融合两条优质路径的基因片段，生成新的路径。例如，有两条父代路径：父代 1 为 0 - 1 - 2 - 3 - 0（0 表示仓库，1、2、3 表示客户），父代 2 为 0 - 3 - 4 - 5 - 0。随机选择一个交叉点，假设为第 3 个位置，交换父代 1 和父代 2 从交叉点开始的基因片段，得到子代 1 为 0 - 1 - 2 - 4 - 5 - 0，子代 2 为 0 - 3 - 3 - 2 - 0。但在实际应用中，需要对交叉后的路径进行合法性检查和修复，确保每个客户只被访问一次，且车辆的容量和体积约束得到满足。
变异：变异操作是对子代染色体的基因按一定概率随机改变，以避免群体陷入局部最优。在 CVRP 中，变异操作可以随机调整路径中的客户顺序。例如，对于路径 0 - 1 - 2 - 3 - 0，随机选择其中两个客户进行位置交换，假设交换 1 和 3，得到路径 0 - 3 - 2 - 1 - 0。同样，变异后也需要保证路径的合法性。变异操作虽然发生的概率较低，但它能够为种群引入新的基因，增加种群的多样性，使算法有可能跳出局部最优解，找到更优的全局解。
2.2.2 适应度函数：判断路径优劣的 “核心标尺”
适应度函数是遗传算法的 “指挥棒”，它用于评估种群中各个个体的适应能力，即解的优劣程度。在 CVRP 中，适应度函数的设计需要紧密结合优化目标与约束条件。
其核心逻辑为：适应度值 = 总行驶距离的倒数 + 约束惩罚项。其中，总行驶距离的倒数体现了路径长度对适应度的影响，总行驶距离越短，其倒数越大，适应度值也就越高。而约束惩罚项是为了确保解的合法性，当车辆出现超载或超体积的情况时，添加高额惩罚值，降低该解的适应度。例如，假设一辆车的容量限制为 10，某条路径中车辆的载货量达到了 12，超过了容量限制，此时可以给该路径的适应度函数加上一个很大的惩罚值，如 100，使得该路径的适应度值大幅降低，在选择操作中被选中的概率也相应减小。
通过这样的适应度函数设计，遗传算法能够优先选择路径短且符合约束的解，引导种群朝着最优解的方向进化。在实际应用中，还可以根据具体问题的需求，对适应度函数进行调整和优化，例如考虑车辆的使用成本、时间窗口等因素，使算法更加贴近实际场景。
三、 核心实战：遗传算法适配 CVRP 的关键步骤拆解
3.1 第一步：编码策略改造 —— 让路径变成 “可进化的染色体”
在遗传算法中，编码是将问题的解映射为遗传算法中的染色体的过程，它是遗传算法的基础。对于 CVRP 问题，一种常见且有效的编码方式是整数序列编码。这种编码方式直接用一串整数来表示客户的访问顺序，同时巧妙地插入 “车辆分隔符” 来区分不同车辆的配送路径。例如，假设我们有数字 0 代表仓库，那么序列 0 - 3 - 5 - 0 就表示一辆车从仓库出发，依次访问客户 3、5 后返回仓库；而 0 - 1 - 2 - 0 - 4 - 6 - 0 则表示两辆不同的车，第一辆车访问客户 1、2，第二辆车访问客户 4、6 。
在进行编码时，必须严格遵守 “无重复客户、车辆分隔符合理” 的规则。无重复客户规则确保每个客户在整个配送方案中只被访问一次，这是符合实际配送逻辑的，避免了资源的浪费和配送的混乱。车辆分隔符合理规则则保证了车辆的容量和体积约束在编码层面就得到初步考虑，使得后续的遗传操作能够在合法的基础上进行。例如，在一个配送场景中，共有 5 个客户，客户 1 的需求为 2 个单位重量和 3 个单位体积的货物，客户 2 的需求为 3 个单位重量和 2 个单位体积的货物，车辆的容量为 5 个单位重量，体积为 5 个单位体积。如果编码为 0 - 1 - 2 - 1 - 0（出现重复客户 1），这显然是不合理的；或者编码为 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 0（未合理分隔车辆路径，可能导致车辆超载超体积），也是不符合规则的。只有合理的编码，才能为后续的遗传操作，如选择、交叉、变异等，奠定坚实的基础，确保算法能够朝着最优解的方向进化。
3.2 第二步：适应度函数定制 —— 兼顾 “路径最短” 与 “约束合规”
适应度函数在遗传算法中起着至关重要的作用，它是评估个体优劣的标准，决定了个体在遗传过程中的生存和繁殖机会。对于 CVRP 问题，设计一个合理的适应度函数，需要兼顾路径最短和约束合规两个关键因素。适应度函数可以设计为：
总目标值 = 总行驶距离 + α× 容量惩罚项 + β× 体积惩罚项
其中，α、β 为惩罚系数，它们的取值需要根据实际场景进行精细调整。总行驶距离是我们希望最小化的目标，它直接反映了配送成本。而容量惩罚项和体积惩罚项则是为了确保车辆在配送过程中不超过其容量和体积限制。当某条路径的车辆出现超载或超体积的情况时，惩罚项会迅速增大，从而大幅增加总目标值。例如，假设一辆车的容量为 10，某条路径中车辆装载的货物总重量达到了 12，超过了容量限制，此时容量惩罚项就会根据预设的惩罚系数 α 进行计算，假设 α = 10，那么容量惩罚项的值可能为 (12 - 10)×10 = 20，这会使总目标值显著增大。同样，对于体积惩罚项也是如此。这样一来，总目标值越大，该解的适应度就越低，在选择操作中被淘汰的概率也就越高。通过这种方式，遗传算法能够在搜索过程中，不断筛选出路径短且符合约束的优质解，逐步逼近最优配送方案。
3.3 第三步：遗传操作优化 —— 避免 “非法解” 的关键技巧
在遗传算法的运行过程中，选择、交叉和变异是三个核心操作，它们推动着种群不断进化。然而，在 CVRP 问题中，普通的遗传操作如果不加以改进，很容易产生违规路径，即 “非法解”。为了避免这种情况，我们需要对遗传操作进行优化。
在交叉操作方面，采用 “部分映射交叉（PMX）” 是一种有效的方法。部分映射交叉通过确定两个交叉点，交换两个父代个体在交叉点之间的基因片段，并根据映射关系调整其他基因的位置，从而保证子代路径中的客户不重复。例如，有两个父代个体：父代 1 为 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 0，父代 2 为 0 - 5 - 6 - 7 - 8 - 0。随机选择两个交叉点，假设为第 2 和第 4 个位置，交换交叉点之间的基因片段后得到临时子代 1 为 0 - 5 - 6 - 3 - 4 - 0，临时子代 2 为 0 - 1 - 2 - 7 - 8 - 0。然后，根据映射关系，将临时子代中重复的基因进行调整，最终得到合法的子代。
对于变异操作，采用 “交换变异” 较为合适。交换变异是随机选择路径中的两个客户，交换它们的位置。例如，对于路径 0 - 1 - 2 - 3 - 0，随机选择客户 1 和客户 3 进行交换，得到路径 0 - 3 - 2 - 1 - 0。但变异后，必须检查车辆的容量和体积是否超出限制。如果出现违规情况，就需要通过 “路径拆分” 等方法进行修复。比如，一辆车原本的路径为 0 - 1 - 2 - 3 - 0，变异后得到 0 - 3 - 2 - 1 - 0，结果发现车辆在这条路径上超载了。此时，可以将超载的客户（如客户 3）分配至其他车辆，重新调整路径，以确保满足约束条件。通过这些优化后的遗传操作，可以有效避免 “非法解” 的产生，提高算法的求解效率和准确性。
3.4 第四步：迭代终止条件设置 —— 平衡 “求解效率” 与 “解的质量”
在遗传算法求解 CVRP 问题的过程中，合理设置迭代终止条件是平衡求解效率和解的质量的关键。通常有两种常用的终止条件：一是达到预设的最大迭代次数，例如设置为 200 代。这是一种简单直接的终止方式，它可以确保算法在一定的计算时间内结束。二是连续多代适应度值无明显提升，比如连续 30 代最优解不变。这种条件能够让算法在解的质量趋于稳定时及时终止，避免不必要的计算资源浪费。
设置这些终止条件的逻辑在于，迭代次数过少，算法可能无法充分搜索解空间，导致得到的解不够优化；而迭代次数过多，虽然可能会找到更优的解，但会显著增加计算成本，降低求解效率。同时，客户数量也是影响终止条件设置的重要因素。当客户数量较少时，解空间相对较小，算法更容易收敛，因此可以适当降低迭代次数，如客户数 <50 时设 100 代；当客户数量较多时，解空间增大，需要更多的迭代次数来搜索最优解，例如客户数> 100 时设 300 代。通过合理设置迭代终止条件，可以在保证解的质量的前提下，提高算法的求解效率，使遗传算法能够更好地应用于实际的 CVRP 问题求解中。
⛳️ 运行结果
📣 部分代码
% REP.m Replicate a matrix
%
% This function replicates a matrix in both dimensions.
%
% Syntax: MatOut = rep(MatIn,REPN);
%
% Input parameters:
% MatIn - Input Matrix (before replicating)
%
% REPN - Vector of 2 numbers, how many replications in each dimension
% REPN(1): replicate vertically
% REPN(2): replicate horizontally
%
% Example:
%
% MatIn = [1 2 3]
% REPN = [1 2]: MatOut = [1 2 3 1 2 3]
% REPN = [2 1]: MatOut = [1 2 3;
% 1 2 3]
% REPN = [3 2]: MatOut = [1 2 3 1 2 3;
% 1 2 3 1 2 3;
% 1 2 3 1 2 3]
%
% Output parameter:
% MatOut - Output Matrix (after replicating)
%
% Author: Carlos Fonseca & Hartmut Pohlheim
% History: 14.02.94 file created
function MatOut = rep(MatIn,REPN)
% Get size of input matrix
[N_D,N_L] = size(MatIn);%
% Calculate
Ind_D = rem(0:REPN(1)*N_D-1,N_D) + 1;
Ind_L = rem(0:REPN(2)*N_L-1,N_L) + 1;
% Create output matrix
MatOut = MatIn(Ind_D,Ind_L);
% End of function
🔗 参考文献
🏆团队擅长辅导定制多种科研领域MATLAB仿真，助力科研梦：
🌈 各类智能优化算法改进及应用
生产调度、经济调度、装配线调度、充电优化、车间调度、发车优化、水库调度、三维装箱、物流选址、货位优化、公交排班优化、充电桩布局优化、车间布局优化、集装箱船配载优化、水泵组合优化、解医疗资源分配优化、设施布局优化、可视域基站和无人机选址优化、背包问题、 风电场布局、时隙分配优化、 最佳分布式发电单元分配、多阶段管道维修、 工厂-中心-需求点三级选址问题、 应急生活物质配送中心选址、 基站选址、 道路灯柱布置、 枢纽节点部署、 输电线路台风监测装置、 集装箱调度、 机组优化、 投资优化组合、云服务器组合优化、 天线线性阵列分布优化、CVRP问题、VRPPD问题、多中心VRP问题、多层网络的VRP问题、多中心多车型的VRP问题、 动态VRP问题、双层车辆路径规划（2E-VRP）、充电车辆路径规划（EVRP）、油电混合车辆路径规划、混合流水车间问题、 订单拆分调度问题、 公交车的调度排班优化问题、航班摆渡车辆调度问题、选址路径规划问题、港口调度、港口岸桥调度、停机位分配、机场航班调度、泄漏源定位
🌈 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维
2.1 bp时序、回归预测和分类
2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类
2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类
2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类
2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类
2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类
2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类
2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类
2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类
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