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(1)基于累积剩余熵的时间序列复杂性量化技术

时间序列的复杂性反映了系统内在动力学机制的丰富程度,准确量化复杂性对于理解系统行为、识别状态转变具有重要意义。传统Shannon熵方法虽然应用广泛,但在处理含噪声或小样本数据时存在估计偏差大的问题。累积剩余熵通过积分形式定义,相比离散概率求和具有更好的连续性和稳定性,特别适合处理连续型随机变量。Tsallis熵作为Shannon熵的非广延推广,引入参数调节系统的非广延特性,能够更灵活地刻画复杂系统的多尺度结构。

将累积剩余熵与Tsallis熵相结合,并采用奇异值分解来表征信号的概率分布,可以突破传统方法对非负变量的限制。奇异值能够捕捉信号在不同方向上的能量分布,反映信号的内在结构复杂度。通过相空间重构将时间序列嵌入到高维空间,构建轨迹矩阵并进行奇异值分解,得到的奇异值谱包含了系统动力学的关键信息。利用归一化的奇异值作为概率分布,计算累积剩余Tsallis熵,可以有效度量序列的复杂性,该方法对噪声具有天然的滤波作用,因为噪声对应的奇异值通常较小,对熵值贡献有限。

在实际应用中,通过调节Tsallis参数可以突出不同尺度的复杂性特征,当参数接近1时退化为Shannon熵,适合捕捉整体复杂度,当参数偏离1时则对局部罕见事件更加敏感。将提取的复杂性特征输入机器学习分类器,可以实现故障诊断和状态识别。灰狼优化算法模拟狼群捕猎的层级协作行为,用于优化支持向量机的参数选择,相比网格搜索具有更高的效率和全局搜索能力,能够在高维参数空间中快速找到最优配置,提升分类性能。

(2)离散模式驱动的复杂性熵平面分析框架

单一熵指标往往无法全面刻画复杂系统的多维特性,复杂性熵平面通过在二维空间中同时展示两种互补的复杂性度量,提供了更加丰富的系统特征描述。离散熵基于序列的排列模式分布,通过符号化方法将连续信号转换为离散符号序列,不同的排列模式对应不同的动力学行为,混沌系统具有丰富的排列模式,而周期信号的模式数量有限。离散熵的计算速度快,对参数设置不敏感,适合实时在线分析。

构建复杂性-累积剩余Tsallis熵平面时,横坐标使用统计复杂度度量,纵坐标使用归一化的累积剩余熵,不同类型的系统在该平面上占据特定区域。完全随机过程对应高熵低复杂度,确定性周期信号对应低熵低复杂度,混沌系统则位于高复杂度区域。通过绘制不同Tsallis参数下的曲线轨迹,可以揭示系统随参数变化的复杂性演化规律,这种轨迹的形状和走向包含了系统动力学的深层信息,能够有效区分表面相似但本质不同的系统。

对于多元时间序列,传统方法往往分别分析各个变量,忽略了变量间的协同作用。多元离散熵通过构建联合排列模式,同时考虑多个变量的相对大小关系,能够捕捉变量间的耦合和同步特性。将多元离散熵扩展到复杂性熵平面,可以在更高维空间中刻画多变量系统的整体行为,在金融市场分析中,不同股票的价格序列存在复杂的关联关系,多元熵平面能够识别市场的不同状态,如稳定期、波动期和危机期,为投资决策提供量化依据。

(3)能量距离理论下的高维序列复杂性测度

传统基于概率分布的熵方法在处理高维数据时面临维度灾难,样本需求随维度指数增长。能量距离基于样本点间的欧氏距离定义,无需显式估计概率密度函数,天然适合高维数据分析。距离分量作为能量统计量的扩展,将总体离散度分解为组内和组间两部分,这种分解在多样本比较中特别有用,能够同时评估样本内部的均匀性和样本间的差异性。

将距离分量与相空间重构结合,提出广义距离分量方法,通过嵌入延迟和嵌入维度将一维序列映射到高维空间,构成相空间轨迹。计算轨迹点之间的距离统计量,可以度量序列在相空间中的离散程度,混沌系统的轨迹充满整个吸引子,离散度高,周期系统的轨迹局限在特定流形,离散度低。对于多元序列,直接在原始高维空间中计算距离分量,无需降维处理,组内离散度反映各变量自身的波动性,组间离散度反映变量间的协同变化程度,通过比较这两种离散度的相对大小,可以判断系统是处于独立演化还是强耦合状态。

引入空间振幅和趋势差权重算子对距离分量进行加权,赋予不同时间点和不同空间方向不同的重要性,振幅较大的点对系统动力学影响更显著,趋势变化剧烈的区域包含更多信息,通过调节权重参数可以突出特定类型的复杂性特征。在生理信号分析中,心电信号的复杂性与心脏健康状态密切相关,健康心脏表现出适度的复杂性,而病理状态下复杂性显著降低或异常升高,加权距离分量能够更敏感地检测这些微小变化,辅助疾病早期诊断。

import numpy as np from scipy.spatial.distance import pdist, squareform from sklearn.decomposition import PCA class CumulativeResidualTsallisEntropy: def __init__(self, q=1.5, m=3, tau=1): self.q = q self.m = m self.tau = tau def reconstruct_phase_space(self, signal): N = len(signal) M = N - (self.m - 1) * self.tau matrix = np.zeros((M, self.m)) for i in range(M): for j in range(self.m): matrix[i, j] = signal[i + j * self.tau] return matrix def compute_entropy(self, signal): trajectory = self.reconstruct_phase_space(signal) U, S, Vt = np.linalg.svd(trajectory, full_matrices=False) singular_values = S / np.sum(S) if self.q == 1: entropy = -np.sum(singular_values * np.log(singular_values + 1e-10)) else: cumsum = np.cumsum(singular_values) integrand = cumsum ** (self.q - 1) entropy = np.trapz(integrand, singular_values) / (self.q - 1) return entropy class GeneralizedDistanceComponents: def __init__(self, m=3, tau=1): self.m = m self.tau = tau def reconstruct_phase_space(self, signal): N = len(signal) M = N - (self.m - 1) * self.tau matrix = np.zeros((M, self.m)) for i in range(M): matrix[i, :] = signal[i:i + self.m * self.tau:self.tau] return matrix def compute_gdisco(self, signal): trajectory = self.reconstruct_phase_space(signal) distances = pdist(trajectory, metric='euclidean') mean_distance = np.mean(distances) within_variance = np.var(distances) complexity = mean_distance / (np.std(signal) + 1e-10) return complexity, mean_distance, within_variance def compute_weighted_gdisco(self, signal, beta=0.5): trajectory = self.reconstruct_phase_space(signal) amplitudes = np.linalg.norm(trajectory, axis=1) trends = np.diff(signal) trend_weights = np.abs(trends[:-self.m+1]) weights = amplitudes[:-1]**beta * (trend_weights + 1e-6) weights = weights / np.sum(weights) dist_matrix = squareform(pdist(trajectory, metric='euclidean')) weighted_dist = np.sum(dist_matrix * weights[:, None]) return weighted_dist class OrdinalPatternNetwork: def __init__(self, m=3, tau=1): self.m = m self.tau = tau def extract_patterns(self, signal): N = len(signal) patterns = [] for i in range(N - (self.m - 1) * self.tau): segment = signal[i:i + self.m * self.tau:self.tau] pattern = tuple(np.argsort(segment)) patterns.append(pattern) return patterns def build_network(self, signal): patterns = self.extract_patterns(signal) unique_patterns = list(set(patterns)) n_patterns = len(unique_patterns) adjacency = np.zeros((n_patterns, n_patterns)) pattern_to_idx = {p: i for i, p in enumerate(unique_patterns)} for i in range(len(patterns) - 1): idx1 = pattern_to_idx[patterns[i]] idx2 = pattern_to_idx[patterns[i + 1]] adjacency[idx1, idx2] += 1 return adjacency, unique_patterns def generate_test_signals(): t = np.linspace(0, 10, 1000) periodic = np.sin(2 * np.pi * t) chaotic = np.zeros_like(t) chaotic[0] = 0.1 for i in range(1, len(t)): chaotic[i] = 3.9 * chaotic[i-1] * (1 - chaotic[i-1]) random_signal = np.random.randn(1000) return periodic, chaotic, random_signal periodic, chaotic, random_sig = generate_test_signals() crtse = CumulativeResidualTsallisEntropy(q=1.5, m=5, tau=2) gdisco = GeneralizedDistanceComponents(m=5, tau=2) signals = {'Periodic': periodic, 'Chaotic': chaotic, 'Random': random_sig} for name, sig in signals.items(): entropy = crtse.compute_entropy(sig) complexity, mean_dist, variance = gdisco.compute_gdisco(sig) weighted = gdisco.compute_weighted_gdisco(sig, beta=0.5) print(f"{name} Signal:") print(f" CRTSE: {entropy:.4f}") print(f" GDISCO Complexity: {complexity:.4f}") print(f" Weighted GDISCO: {weighted:.4f}\n") opn = OrdinalPatternNetwork(m=3, tau=1) adj_matrix, patterns = opn.build_network(chaotic) network_density = np.sum(adj_matrix > 0) / (adj_matrix.shape[0]**2) print(f"Ordinal Network Density (Chaotic): {network_density:.4f}")

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