汉诺塔问题及其扩展

news/2026/1/24 17:13:11/文章来源:https://www.cnblogs.com/hicode002/p/19527066

汉诺塔问题及其扩展

:
1个基本模型很多扩展

基本模型：

$3$个柱子，$A,B,C$，$a$上有$n$个盘子，从上而下从小到大排好，现在要把所有盘子从$a$移到$c$，要求一次只是移动一个盘子，且大的不能在小的上面，求最小的移动次数

这个看起来无从下手，因为最小似乎要枚举所有结果，但是实际上这是一个递归
递归：
把前$n-1￥个盘子从$a$借助$c$移到$b$，然后把最后一个盘子从$a$直接移到$c$并输出，再把$b$上的$n-1$个盘子借助a移到c

边界是当只剩下一个盘子时，直接从$a$移到$c$并输出
其实边界剩下$0$个盘子时，也可以直接返回，这样的话还剩$1$个盘子的时候$2$个递归就结束了，只会输出移动盘子，也可以
至于如何控制递归结束，因为$n$个盘子就要移动$n-1$个盘子，就要缩小规模，而这样就可以把还剩下几个盘子作为记录递归进行程度的标志，当只剩下一个或$0$个盘子时终止递归

这正确吗？
$3$个盘子，

把前两个移到$b$，借助$c$，就是把$1$移到$c$，再把$2$直接移到$b$，再把$1$移到$b$，接着把$3$移到$c$，然后$1$移到$a$，$2$移到$c$，$1$移到$c$，刚好符合，所以正确（7次）

公式：
递推：$f(n)=2f(n−1)+1(n=1−→f(n)=1)$
$2^n−1$

原因：
由于从$a$向$b$借助$c$移动$n-1$个盘子与从$b$向$c$借助$a$移动$n-1$个盘子的本质相同，因此$2f(n-1)$
然后$n$号盘子从$a$移到$c$需要$1$次

为什么有
$2^n−1$
？
归纳法：
对于$f_1$成立
假设对于$f_n$成立，那么证明对$f_{n+1}$成立
$f_{n+1} =2 f_n +1$
$=2*(2^n −1)+1$
$=2^{(n+1)}−1$
所以成立

扩展：

盘子编号与剩余盘子个数关系

盘子编号为所有盘子在a柱时自上而下从1到n
在执行递归时，假设当前还剩余x个盘子要从原始柱移到目标柱，那么这x个盘子中编号最大的即最底下的编号是x：
对于n个盘子在a柱时，最底下的编号显然是n，递归时，把前n-1个盘子从a移到b柱，此时这n-1个盘子最底下的是n-1，然后把n号直接从a移到c
接着把n-1个从b移到c，那么此时最底下的还是n-1号盘子，
那么这是什么意思呢？
就是说如何输出具体移动盘子的编号，具体移动时只有两种情况，第一种是只剩下一个盘子，直接移动，第二种是前n-1个已经移到了中间柱，现在要把第n个移动到目标柱，当只剩下一个盘子时，必然是第一个盘子，因为中间那些直接移动都是在递归过程中进行的，没有缩小规模，又因为递归移动的盘子都是前几号盘子，不存在中间插着或移动后几个盘子的情况，所以剩余盘子一定是前几个盘子，因此剩余盘子个数就是前几个盘子的最后一个，而这个盘子参与具体移动，所以输出编号就是输出当前剩余盘子个数（剩余1个时移动的是一号盘子）
这个适用于3柱的不相邻和相邻情况(一下移动n-1个，剩下的不参与递归)，不适用于k塔问题（也是一下移动k(n-1)个，且剩下k个不参与递归，只剩下k个时一定是前k个，但是移动时这k个自身顺序会颠倒）
但是4柱或更多不适用（因为4柱第一步r个a移到b，这时最底下编号为r，符合，但是下面n-r个从a移到d是3柱问题，此时最大的编号是n，然而只剩下了n-r个，可以把r+1号作为后面的1号盘）

k塔问题（相同的是否按原顺序排列）：

是指三个柱子，kn个盘子，k个盘子一组，它们大小相同，那么从a移到c最小移动步数
首先,方法是递归，先把前k（n-1)个从a借助c移到b，再把最后k个从a移到c，由于大小相同，所以可以直接移动k步，然后再把b的k（n-1）移到c借助a，当n等于1时，直接把盘子从a移到c，需要k
步
那么
f(n)=2f(n−1)+k(n=1−−−→f=k)
注意k不在递归过程中改变
若k=3
f(2)=9=3∗3
f(3)=21=7∗3

因此猜测f(n)=k∗(2^n −1)
证明：
f(1)=k
假设对于f(n)成立
f(n+1)=2(k(2^n −1))+k
=2^(n+1) ∗k−2k+k
=2^(n+1)∗k −k
=k∗(2^(n+1) −1)
所以成立
从另一个角度分析，每一步都需要k次，但这k次可以直接移动不需要借助盘子，所以就是原来一个盘子一组的步数乘上k，因为可以具体移动时可以直接移动k个盘子，所以并不是f(k*n)(意思是kn个大小不同的盘子a到c的最短步数)

还有一个问题就是如果要求移到c后要求一组内盘子的顺序与原来全在a时这一组内盘子的顺序相同时最少的步数，这个与上面的不一样，因为上面的是直接把k个盘子移动，而这样会把最上面的压到最底下，最底下的改到最上面，但具体不清楚

m柱问题

这是一个拓展问题，指有m个柱子，先从1号柱子移到m号柱子的最少步数
先考虑4个柱子情况：
因为多了一个柱子，所以可以在移动时多借助一个存放，从而减少反复中转（三声）盘子的次数，所以实际上n相同时次数会比3柱的少
那么直接的想法是减少盘子的中转，即递归时取n-2个盘子从1柱移到2柱借助3 4柱
然后n-1盘子移到3柱，n盘子移到4柱，n-1盘子移到4柱，3次，接着把n-2个盘子从2柱移到4柱借助1 3柱
1个盘子时从1直接到4，1次
2个盘子（因为n-2）时1号盘子移到2柱，2号盘子移到4柱，1号盘子再移到4柱，共3次
所以递归为
f(n)=2f(n-2)+3
(f(1)=1 f(2)=3)
但是，当n=6时f（n）=21
可是这并不是最小的，因为当取3个从1柱移到2柱借助3 4柱需要5步，剩下3个从1柱移到4柱只能借助3柱，这是3柱hanoi问题，因此是7步，然后那3个从2柱移到4柱借助1 3柱需要5步，总共5+7+5=17步，这小于21步，
因此，可以发现当我们先从1柱移到2柱盘子个数增大时，可能会增加盘子的中转次数，但是这样剩下的从1柱移到4柱的盘子个数减小，所以这个的移动次数减少，需要达到一个平衡，而这个平衡点就是最小移动次数，就像二次函数一样
那么该怎么做呢？
很简单，既然我们无法确定从1柱移到2柱多少个盘子，那么就枚举，找到一个移动数r使得当前的n的总移动次数最小就是了。
这里有一点贪心，就是说f n里的r的值能使总和最小，且f r里可能有不同的r的值，但是f r也是最小的，那么所求的就是总体的最小值（即这个r的取值下f r是最小值，而总和也是最小值）

现在设计算法：
先移动r个盘子从1柱到2柱借助3 4柱
然后将剩下的n-r个盘子借助3柱从1移到4柱（2柱被占了）
接着把2柱的r个盘子从2柱移到4柱借助1 3柱（第二步后1柱空了，3柱也空了）
r通过枚举找到一个r，使得当前的n的总移动次数最小
r的取值范围，r为0时一个盘子也不移动，只是把n个盘子借助3柱移到4柱，那浪费一个柱子，次数肯定不是最优，不用算，r=n的时候，一下把n个从1柱移到2柱，然后剩下0个移到4柱，再直接从2柱把n个移到4柱，这绕了一圈，肯定不是最优，不用算，所以0<r<n
那么问题就简单了
递推公式
f(n)=2f(r)+2^(n−r) −1
(0<r<n，且r值能使f（n）最小)
边界:
n=1时，一个盘子，只需要1次
n=2时，两个盘子，像3柱一样，3次

具体发现有很多重复,因为会反复计算，因为每次枚举r时总有些重复，因此可以考虑记忆化或递推
那么递推是反着来的，先算f(1) f(2)
然后f(3)开始，枚举r，然后找f(r)，因为0<r<n
所以当前的r一定在前面算过，然后找出最小值，更新这次的f(n)即可，一直算到n

由此可以推广到m柱问题
同样，无法确定一次移动多少个盘子，我们希望盘子中转次数少，所以一次我们移动后剩下的最好刚好摊开在后面，即从1柱移到2柱时，最好移动n-(m-2)个，剩下m-2个从1柱借助m-3个柱子移到4柱，即这m-3个柱子每个刚好摊开一个盘子，然后第m号柱子放最大的盘子，然后把m-1号移到m，m-2号移到m，。。。。。。共m-3次，而摊开需要m-2次，共2m-5次
然后再把n-(m-2)个从2柱移到m柱借助m-2个柱子
但是，根据4柱的经验，我们知道这并不是最优，因为虽然减少了盘子中转的次数，但是却增大了从1移到2柱和从2柱移到m柱的递归的次数
所以还是要枚举r找平衡

所以frame算法如下：
首先先将r个盘子从1柱移到2柱，借助m-2个柱子
然后将剩下n-r个盘子从1柱移到m柱，借助m-3个柱子
接着把2柱的r个盘子从2柱移到m柱，借助m-2个柱子
其中0<r<n
理由同4柱
r的取值是使当前n的移动次数最小的r的取值
递推公式
f(n,m)=2f(r,m)+f(n-r,m-1)
其中0<r<n
且r能使得当前的函数取值最小
然后边界：
n<=0 0次
n>0&&m==1 0次
n=1 m>1 1次

这可以做递推

先算m=1的，全改成0
再算n=1 m>1的，全改成1
然后其他的都是0
然后，外层循环是2~m，内循环从2到n，倒过来也行，然后枚举r从1到n-1，找出函数最小值并更新

只能相邻柱子移动

就是a到b可以，b到c可以，a到c不可以，求最短步数
那么这样就可以设计一个新算法：
把a柱前n-1个借助b移到c柱
第n个从a移到b
c柱前n-1个从c移到a柱借助b柱
第n个从b移到c
a柱前n-1个移到c借助b柱

理由：
相邻柱子不易直接设计递归，所以用了看似错误的递归
实际上是先把a柱的借助b移到c柱，这是要过中转柱的，没有错误
然后第n个直接移动
……
都是一样的，算法可行

递推公式
f(n)=f(n-1)+1+f(n-1)+1+f(n-1)
=3f(n-1)+2
边界：
f(1)=2
1个盘子a到c最少过b，两次
因为是n-1，所以是连续缩减规模的，只考虑1即可
通项公式：
f(n)=3^n−1
证明：
归纳法：
首先f(1)显然成立
假设对f n成立
那么证明f(n+1)成立
f(n+1)=3f(n)+2
=3*(3^n−1)+2
=3^(n+1)−3+2
=3^(n+1)−1
所以成立

只能相邻柱子移动且最大的盘子可以在最上面（只有n个中最大的可以，递归时最大的不可以）

原来我们很麻烦的移，但现在简单了
只需要把前n-1个移到b，然后第n个移到b再移到c，最后b向c移动那n-1个
也就是说需要求从其他柱向中间柱移动的递归
注意不是f(n)=2f(n-1)+2
因为n-1 n-2 号都不能直接放在最上面
实际上可以分类递归
g(n)是从边缘柱到中间柱的最小次数
s(n)是从边缘住到另一个边缘柱的最小次数
s(n)=3s(n-1)+2
s(1)=2
所以s(n)=3^n -1
那么g(n)呢?
设从a向b柱移动
前n-1个由a移到c
第n个a->b
然后n-1个c->b
所以g(n)=s(n-1)+1+g(n-1)
g(1)=1
所以
g(n)=3^n-1 + g(n-1)
g(n)=3^n-1 + 3^n-2 +…..+1
可见是等比数列的和
g(n)=1*(1-3^n)/-2 =(3^n -1)/2
那么最后移动次数为
2g(n-1)+2 =3^(n-1) -1+2=3^(n−1)+1

编号k的盘子移动次数

3柱普通hanoi问题中，求编号为k的盘子实际移动的次数
f(n)=2f(n-1)+1
也就是说n需要1次
而n-1需要2次

n-2需要4次
也就是说编号为k的盘子的移动次数等于f(k)的调用次数，因为f(k)里有一次对k的直接移动
而f(k)只由f(k+1)调用而来，因此f(k)的调用次数只与比它大的编号的调用有关，与比它小的盘子无关
f(k)自身调用1次 =2^0
f(k+1) 2=2^1
f(k+2) 4=2^2
.
.
.
f(k+n-k)=f(n) 2^(n−k)
因此编号为k的盘子移动次数为 2^(n−k)
3柱只能相邻柱移动的hanoi中，求编号为k的盘子的移动次数
f(n)=3f(n-1)+2
因为这里k的直接移动在f(k)中有2次，1次是a->b，1次是b->c
而编号为k的盘子的移动次数等于f(k)的调用次数*2
f（k）由比k大的调用，与小的无关
f(k) 1=3^0
f(k+1) 3=3^1
f(k+2) 9=3^2
f(k+n-k)=f(n) 3^(n−k)
所以编号为k的盘子的移动次数等于2∗3^(n−k)

拓展到m柱问题
没有通项公式
但可以倒推+分治
f(n,m)=2f(r,m)+f(n-r,m-1)
这样先算出r，然后看一看k<=r吗
若是，移动次数就是r,m下k的移动次数*2
否则，让k-=r
然后继续递归
当m=3时，直接输出2^(n-k)

符合大的在小的下面的全部的盘子摆放情况（种类数）

排列组合问题
既然是大的在小的下面，那么就应该先考虑大的，这样便于确定小的
如果反过来就不对了
先考虑3个时
第n个可以在1 2 3柱上的一个
3种
然后第n-1个可以在1 2 3柱中的1个
3种
……
以此类推，到第一个还可以在1 2 3柱中的一个
状态是叠加的
所以最后是3^n
没有顺序问题
最大的就3种，而比它小一点的必须在它的紧上面，不能再往上，再往上的话就不符合大的在小的下面了
m柱时
是m^n
因为第n个可以选m种，第n-1个可以选m种……

4柱hanoi通项公式

可以确定r的取值
r=floor((√(8n+1)−1)/2)
记忆公式，n=6时，8n+1=49
sqrt后为7，7-1=6，6/2=3
刚好
那么这样的话就可以递归时不枚举r，而是直接代进去递归，提升了效率
还有O(1)公式
f(n)=(n−(r^{2−r+2)/2)∗2}r+1
当n=6时，r=3
3^2=9 9-3=6 6+2=8 8/2=4 6-4=2 2*8+1=17

现在的情况到目标状态的最少步数

判断是否是最优解过程中的一个状态（给定状态）：

递归判断，首先第n个盘子要么在a要么在c，但是永远不可能在b，
因此可以设计递归，参数是当前要检查的盘子编号，起始柱子a，中间柱b，目标柱c
那么我们可以检查当前这个第n号盘子是否在a或c盘，若在b盘则不符合，若在a，则说明这些盘子正在进行a到b盘的操作，那么我们可以缩减规模判断n-1号盘子在a还是b盘，若在c，则不符合，如此递归
而第n号如果在c，说明将要或正在进行b到c，那么可以递归判断n-1号是否在b或c上
当只剩下一个盘子时，只需要检查1号盘子是否在a或c上，若是，则符合，若在b上，则不符合
极端考虑：
当所有盘子都在a时，满足递归吗？
因为是a,b,c->a,c,b->a,b,c……
第n号在a，第n-1号在a，第n-2号在a……第1号在a
所以满足递归
当所有盘子在c时：
a,b,c->b,a,c->a,b,c……
所以满足递归

所以递归正确
这是个倒推，原来是求每种状态，现在通过分治性质的算法用n的复杂度倒推出来是否最优