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柔性作业车间调度问题（Flexible Job Shop Scheduling Problem, FJSP）作为经典作业车间调度问题的延伸与拓展，更贴合实际生产场景中“一台机器可处理多种工序、一道工序可由多台机器完成”的柔性需求，是制造业生产调度领域的核心难题之一。由于实际生产中需同时优化生产周期、加工成本、机器负载均衡等多个相互冲突的目标，多目标优化算法成为求解FJSP的主流技术路径。本文选取四种典型多目标优化算法——NSOOA（非支配排序鸵鸟优化算法）、NSGA2（非支配排序遗传算法Ⅱ）、NSDBO（非支配排序樽海鞘群算法）、NSCOA（非支配排序郊狼优化算法），系统研究其在FJSP中的应用效果。通过构建多目标FJSP数学模型，设计标准化测试案例与自定义实际生产案例，从解的收敛性、分布性、多样性及计算效率四个维度对比四种算法的性能差异，剖析各算法在处理FJSP约束与多目标优化需求时的优势与不足，为不同生产场景下FJSP的算法选型提供理论依据与实践参考，助力制造业实现生产调度的智能化、高效化与低成本化。

关键词

柔性作业车间调度；多目标优化；NSGA2；NSDBO；NSCOA；NSOOA；收敛性分析

一、引言

1.1 研究背景与意义

随着制造业向工业4.0转型，生产模式逐渐从大规模标准化生产转向多品种、小批量定制化生产，生产系统的柔性与调度的复杂性大幅提升。作业车间调度作为连接生产计划与实际执行的关键环节，直接影响生产效率、产品交付周期与生产成本。传统作业车间调度问题（JSP）假设“一道工序仅对应一台机器”，难以适配现代生产的柔性需求，而FJSP通过放松机器分配约束，允许工序在多台可用机器中选择最优加工设备，更符合汽车零部件制造、机械加工、电子元件装配等行业的实际生产场景。

实际生产调度中，单一目标优化（如仅最小化生产周期）往往无法满足企业综合效益需求，需同时兼顾多个相互冲突的目标，例如：最小化总加工时间（Makespan）、最小化总生产成本（包括机器能耗、人工成本等）、最大化机器负载均衡度、最小化工序延迟率等。这类多目标FJSP属于NP难问题，随着工件数量与机器数量的增加，解空间呈指数级增长，传统精确算法（如线性规划、整数规划）在大规模问题中难以在合理时间内获得最优解。多目标进化算法、群智能算法凭借其鲁棒性强、无需梯度信息、能同时生成多个帕累托最优解的优势，成为求解多目标FJSP的有效工具。

目前，NSGA2作为多目标优化领域的经典算法，已被广泛应用于FJSP求解，但在复杂约束下易出现收敛速度慢、解的分布性不佳等问题；NSDBO、NSCOA、NSOOA作为近年来涌现的新型多目标优化算法，分别基于樽海鞘群、郊狼、鸵鸟的行为特性设计，具有结构简单、搜索能力强等特点，但在FJSP中的应用研究仍较为匮乏，且四种算法的性能对比分析尚未有系统研究。因此，本文通过系统实验与理论分析，对比四种算法求解多目标FJSP的效果，填补现有研究空白，为制造业调度优化提供更丰富的算法选择与技术支撑，具有重要的理论价值与实践意义。

1.2 国内外研究现状

1.2.1 FJSP多目标优化研究进展

国外学者对FJSP的研究起步较早，1990年Brandimarte首次提出FJSP的数学模型，并采用遗传算法求解单目标FJSP，开启了算法求解FJSP的研究热潮。随着多目标优化理论的发展，学者们逐渐将多目标算法应用于FJSP，如Deb等提出的NSGA2算法，凭借其非支配排序策略与拥挤度计算机制，成为多目标FJSP求解的基准算法，被广泛用于性能对比研究。近年来，国外学者不断改进传统算法或提出新型算法，如基于粒子群优化（PSO）、灰狼优化（GWO）的多目标变体，在FJSP中实现了收敛性与分布性的提升。

国内研究方面，近年来对多目标FJSP的关注度持续上升，学者们主要围绕算法改进与实际场景应用展开研究。例如，部分学者通过改进NSGA2的交叉、变异算子，增强其在FJSP中的局部搜索能力；另有学者将新型群智能算法（如樽海鞘群算法、郊狼优化算法）引入FJSP求解，验证了新型算法的可行性。但现有研究多聚焦于单一算法的改进或两种算法的对比，缺乏对多种不同类型多目标算法在FJSP中应用效果的系统对比，且对算法在大规模、复杂约束FJSP中的性能分析不足。

1.2.2 四种算法的研究与应用现状

NSGA2作为多目标进化算法的经典代表，具有结构成熟、鲁棒性强的特点，已在FJSP、车间调度、路径优化等多个领域得到广泛应用，但其在处理高维多目标问题时，易出现非支配解冗余、局部最优陷阱等问题。NSDBO是基于樽海鞘群算法（DBO）的多目标变体，通过融入非支配排序策略与拥挤度控制，保留了DBO算法全局搜索能力强、收敛速度快的优势，目前已应用于函数优化、工程设计等领域，但在FJSP中的应用研究较少。

NSCOA基于郊狼优化算法（COA）改进而来，模拟郊狼种群的社会行为与进化机制，具有搜索多样性高、不易陷入局部最优的特点，适用于复杂约束优化问题，目前在调度领域的应用仍处于探索阶段。NSOOA是基于鸵鸟优化算法（OOA）的多目标改进算法，借鉴鸵鸟的觅食、奔跑行为设计搜索策略，具有结构简单、计算开销小的优势，但其在多目标优化场景与FJSP中的适用性尚未得到充分验证。

1.3 研究内容与技术路线

1.3.1 研究内容

本文的核心研究内容的包括以下五个方面：（1）构建多目标FJSP数学模型，明确生产周期、加工成本、机器负载均衡度三大核心优化目标，考虑机器柔性、工序先后约束、机器加工能力等约束条件；（2）梳理四种多目标优化算法（NSOOA、NSGA2、NSDBO、NSCOA）的基本原理，针对FJSP的问题特性，对各算法的编码方式、适应度函数、遗传操作/搜索策略进行改进与适配；（3）设计实验方案，选取标准FJSP测试案例（如Brandimarte案例集）与自定义实际生产案例，设置统一的实验参数与评价指标；（4）通过仿真实验，对比四种算法在不同案例中的收敛速度、帕累托最优解分布性、解的多样性及计算效率；（5）分析实验结果，总结各算法的性能优势与适用场景，提出算法改进方向与FJSP调度优化建议。

1.3.2 技术路线

本文的技术路线遵循“理论构建—算法适配—实验验证—结果分析—结论展望”的逻辑展开：首先，梳理FJSP与多目标优化算法的相关理论，构建多目标FJSP数学模型；其次，针对四种算法进行适应性改进，设计适配FJSP的编码与解码方式、适应度函数；再次，搭建仿真实验平台，设置实验参数与评价指标，开展不同案例下的仿真实验；然后，对实验数据进行统计分析，对比四种算法的性能差异；最后，总结研究结论，指出研究不足与未来改进方向。

1.4 研究创新点

本文的创新点主要体现在三个方面：（1）研究对象的系统性，首次将NSOOA、NSGA2、NSDBO、NSCOA四种不同类型的多目标算法纳入同一研究框架，系统对比其在FJSP中的应用效果，填补现有研究中算法对比不全面的空白；（2）算法适配的针对性，针对FJSP的机器柔性与多约束特性，对四种算法的核心环节进行改进，提升算法对FJSP的适配性；（3）实验设计的综合性，结合标准测试案例与实际生产案例，从多维度评价算法性能，为不同场景下的算法选型提供更具实操性的参考。

二、相关理论基础

2.1 柔性作业车间调度问题（FJSP）

2.1.1 FJSP问题描述

FJSP可分为两个子问题：机器分配问题与工序排序问题。假设有n个工件，每个工件包含若干道工序，工序之间存在固定的先后加工顺序；有m台机器，每台机器可处理多种工序，每道工序可由多台机器完成，且不同机器加工同一工序的加工时间、加工成本存在差异。FJSP的核心目标是为每道工序分配最优机器，并确定各机器上的工序加工顺序，同时优化多个相互冲突的生产目标，满足工序先后约束、机器加工能力约束等条件。

2.1.2 多目标FJSP数学模型

本文选取三大核心优化目标：最小化总加工时间（Makespan）、最小化总加工成本、最大化机器负载均衡度，构建多目标FJSP数学模型，定义如下变量与约束条件。

（1）决策变量：设$x_{ijk}$为0-1变量，$x_{ijk}=1$表示工件i的第j道工序分配给机器k加工，$x_{ijk}=0$则相反；设$y_{ijklmn}$为0-1变量，$y_{ijklmn}=1$表示机器k上工件i的第j道工序先于工件l的第m道工序加工，$y_{ijklmn}=0$则相反。

（2）参数定义：$t_{ijk}$为工件i的第j道工序在机器k上的加工时间；$c_{ijk}$为工件i的第j道工序在机器k上的加工成本；$C_{max}$为总加工时间（Makespan）；$TC$为总加工成本；$LB$为机器负载均衡度；$L_k$为机器k的总负载（加工时间之和）；$L_{avg}$为所有机器的平均负载。

（3）目标函数：

① 最小化总加工时间：$\min C_{max} = \max_{i,j,k} \{ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{n_i} \sum_{k=1}^m x_{ijk} (S_{ijk} + t_{ijk}) \}$，其中$S_{ijk}$为工件i的第j道工序在机器k上的开始加工时间。

② 最小化总加工成本：$\min TC = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{n_i} \sum_{k=1}^m x_{ijk} c_{ijk}$。

③ 最大化机器负载均衡度：$\max LB = 1 - \frac{\max_{k=1}^m |L_k - L_{avg}|}{L_{avg}}$，其中$L_k = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^{n_i} x_{ijk} t_{ijk}$，$L_{avg} = \frac{1}{m} \sum_{k=1}^m L_k$。

（4）约束条件：

① 工序分配约束：每道工序仅分配给一台机器，$\sum_{k=1}^m x_{ijk} = 1$，$\forall i,j$。

② 工序先后约束：同一工件的前道工序完成后，后道工序方可开始，$S_{ij+1,k'} \geq S_{ijk} + t_{ijk} x_{ijk}$，$\forall i,j,k,k'$。

③ 机器加工约束：同一机器上的工序无重叠加工，若$y_{ijklmn}=1$，则$S_{lmn} \geq S_{ijk} + t_{ijk} x_{ijk}$；若$y_{ijklmn}=0$，则$S_{ijk} \geq S_{lmn} + t_{lmn} x_{lmn}$，$\forall i,j,k,l,m,n$。

④ 非负约束：$S_{ijk} \geq 0$，$\forall i,j,k$；$x_{ijk}, y_{ijklmn} \in \{0,1\}$。

2.2 多目标优化核心理论

2.2.1 帕累托最优解

多目标优化问题中，由于目标之间相互冲突，不存在同时优化所有目标的绝对最优解，通常采用帕累托最优解（Pareto Optimal Solution）作为评价标准。对于多目标 minimization 问题，若解$X^*$满足：不存在其他解$X$，使得$X$在所有目标上均不劣于$X^*$，且至少在一个目标上优于$X^*$，则称$X^*$为帕累托最优解。所有帕累托最优解构成的集合称为帕累托最优解集，其对应的目标函数值构成帕累托前沿（Pareto Front, PF）。

2.2.2 多目标算法性能评价指标

为全面评价四种算法的性能，本文选取以下四类核心指标：

（1）收敛性指标（GD）：衡量算法生成的帕累托前沿与真实帕累托前沿（或参考前沿）的距离，GD值越小，收敛性越好。$GD = \sqrt{\frac{1}{|P|} \sum_{x \in P} d(x)^2}$，其中$P$为算法生成的帕累托解集，$d(x)$为解$x$到真实帕累托前沿的最小欧氏距离。

（2）分布性指标（SP）：评价帕累托最优解在前沿上的分布均匀性，SP值越小，分布性越好。$SP = \frac{\sum_{i=1}^{|P|+1} d_i}{\max(d_i) \cdot |P|}$，其中$d_i$为相邻解之间的欧氏距离，$d_{|P|+1}=d_1$。

（3）多样性指标（HV）：衡量帕累托解集覆盖的目标空间体积，HV值越大，解的多样性越优，能为决策者提供更丰富的选择。

（4）计算效率指标（CPU时间）：统计算法运行至收敛所需的平均CPU时间，反映算法的实时性，适用于对调度响应速度有要求的场景。

三、四种多目标优化算法原理及FJSP适配改进

3.1 NSGA2（非支配排序遗传算法Ⅱ）

3.1.1 基本原理

NSGA2由Deb等提出，是多目标进化算法的经典算法，核心优势在于引入了快速非支配排序策略与拥挤度计算机制，有效解决了传统多目标遗传算法计算复杂度高、解集分布性差的问题。算法流程包括初始化种群、快速非支配排序、拥挤度计算、选择、交叉、变异等操作，通过迭代生成逼近真实帕累托前沿的解集。

3.1.2 针对FJSP的适配改进

（1）编码方式：采用两段式编码，第一段为工序分配编码，长度为总工序数，每个基因位表示对应工序的分配机器编号；第二段为工序排序编码，采用基于工件的排列编码，长度为总工序数，基因位数值表示工件编号，重复次数对应工序序号，实现机器分配与工序排序的同步优化。

（2）适应度函数：直接采用多目标FJSP的三个目标函数作为适应度评价依据，通过非支配排序与拥挤度计算替代传统单一适应度值，实现多目标协同优化。

（3）遗传操作改进：交叉操作采用两点交叉与工件交叉结合的方式，保留父代优良的机器分配与工序排序基因；变异操作采用随机变异，对工序分配编码随机替换机器编号，对工序排序编码随机交换基因位，避免算法陷入局部最优。

3.2 NSDBO（非支配排序樽海鞘群算法）

3.2.1 基本原理

NSDBO是基于樽海鞘群算法（DBO）改进的多目标算法，DBO模拟樽海鞘群的链式游动与觅食行为，分为领导者与追随者两个群体，领导者负责全局搜索，追随者负责局部搜索。NSDBO通过融入快速非支配排序与拥挤度控制策略，将多目标优化机制与樽海鞘群的搜索特性结合，兼顾全局搜索能力与解集分布性。

3.2.2 针对FJSP的适配改进

（1）种群初始化：采用随机初始化与启发式初始化结合的方式，部分个体通过随机生成两段式编码获得，部分个体基于最小加工时间原则分配机器，生成初始可行解，提升初始种群质量。

（2）搜索策略改进：领导者更新时，引入帕累托前沿引导机制，基于当前非支配解集调整搜索方向，加速算法收敛；追随者更新时，增加局部扰动因子，避免种群聚集，提升解的多样性。

（3）环境选择机制：每次迭代后，对所有个体进行非支配排序，保留前N个个体（种群规模），通过拥挤度计算剔除冗余解，保证解集的分布均匀性。

3.3 NSCOA（非支配排序郊狼优化算法）

3.3.1 基本原理

NSCOA基于郊狼优化算法（COA）改进而来，COA模拟郊狼种群的社会结构与进化行为，种群分为多个群落，每个群落内的郊狼通过相互学习、繁殖与迁移实现搜索优化。NSCOA融入非支配排序策略，将多目标优化目标融入郊狼的适应度评价，通过群落协作与进化生成多目标帕累托最优解。

3.3.2 针对FJSP的适配改进

（1）群落划分：基于帕累托等级划分群落，同一帕累托等级的个体组成一个群落，促进同等级解之间的协作搜索，同时不同群落之间通过个体迁移实现信息交换，提升解集多样性。

（2）繁殖与变异操作：繁殖操作结合两段式编码的特性，对父母代的机器分配编码与工序排序编码分别进行交叉，生成子代个体；变异操作采用自适应变异概率，迭代初期概率较大，促进全局搜索，迭代后期概率减小，强化局部搜索。

（3）迁移机制优化：设定迁移阈值，当群落内解的拥挤度超过阈值时，随机选择部分个体迁移至其他群落，避免局部最优，同时补充新的搜索方向。

3.4 NSOOA（非支配排序鸵鸟优化算法）

3.4.1 基本原理

NSOOA是基于鸵鸟优化算法（OOA）改进的多目标算法，OOA模拟鸵鸟的觅食、奔跑与警戒行为，分为觅食阶段（全局搜索）、奔跑阶段（局部搜索）与警戒阶段（避免局部最优）。NSOOA通过引入非支配排序与拥挤度计算，将多目标评价机制融入鸵鸟的行为策略，实现多目标优化问题的求解。

3.4.2 针对FJSP的适配改进

（1）觅食阶段优化：觅食时，基于当前非支配解集确定搜索范围，鸵鸟个体向帕累托前沿方向移动，同时随机探索新的解空间，平衡收敛速度与全局搜索能力。

（2）奔跑阶段优化：奔跑时，针对FJSP的约束条件，对机器分配与工序排序进行局部调整，例如微调某几道工序的分配机器或加工顺序，强化局部搜索，提升解的质量。

（3）警戒机制优化：警戒阶段，计算个体的拥挤度，若拥挤度过高，对个体进行随机变异，生成新的解，避免种群聚集，保证解集的分布性。同时，删除被支配的个体，保留非支配解，提升算法效率。

四、结论与展望

4.1 研究结论

本文系统研究了NSOOA、NSGA2、NSDBO、NSCOA四种多目标优化算法在多目标FJSP中的应用效果，通过构建数学模型、设计实验案例与多维度评价指标，得出以下结论：（1）四种算法均能有效求解多目标FJSP，生成逼近帕累托前沿的解集，但性能差异显著；（2）NSCOA在解的收敛性（大规模案例）、分布性与多样性方面表现最优，是四种算法中综合解质量最优的算法，但计算效率较低；（3）NSDBO在中、小规模案例中表现均衡，收敛速度与分布性均处于较好水平，适用性较强；（4）NSGA2作为基准算法，性能稳定，适应性广，可作为FJSP算法性能对比的参考基准；（5）NSOOA计算效率最高，适合对实时性要求高的小规模场景，但解质量有待提升。

4.2 研究不足与未来展望

本文的研究仍存在一些不足：（1）实验案例未考虑动态扰动因素（如机器故障、紧急订单插入），与实际生产的动态性存在差距；（2）仅优化了三大核心目标，未涉及能耗、碳排放等绿色生产目标；（3）对算法的改进较为基础，未针对FJSP的特性进行深度优化。

未来研究可从以下方向展开：（1）引入动态约束与绿色生产目标，构建更贴合实际的多目标FJSP模型；（2）针对各算法的不足进行深度改进，如优化NSCOA的计算效率、提升NSOOA的解质量；（3）将混合算法策略引入FJSP求解，结合不同算法的优势，构建性能更优的混合多目标算法；（4）开展算法的工程应用验证，将优化算法与制造执行系统（MES）结合，实现调度方案的实时落地与动态调整。

⛳️ 运行结果

🔗 参考文献

[1] 李淑月,唐璐玮.基于NSGAII的多目标随机加工时间柔性车间作业调度[J].软件工程与应用, 2025, 14(2):441-456.

[2] 陈辅斌[1];李忠学[1];杨喜娟[2].基于改进NSGA2算法的多目标柔性作业车间调度[J].工业工程, 2018(2).

[3] 陈辅斌,李忠学,杨喜娟.基于改进NSGA2算法的多目标柔性作业车间调度[J].工业工程, 2018, 21(2):7.DOI:10.3969/j.issn.1007-7375.e17-3276.

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🌈 机器学习和深度学习时序、回归、分类、聚类和降维

2.1 bp时序、回归预测和分类

2.2 ENS声神经网络时序、回归预测和分类

2.3 SVM/CNN-SVM/LSSVM/RVM支持向量机系列时序、回归预测和分类

2.4 CNN|TCN|GCN卷积神经网络系列时序、回归预测和分类

2.5 ELM/KELM/RELM/DELM极限学习机系列时序、回归预测和分类

2.6 GRU/Bi-GRU/CNN-GRU/CNN-BiGRU门控神经网络时序、回归预测和分类

2.7 ELMAN递归神经网络时序、回归\预测和分类

2.8 LSTM/BiLSTM/CNN-LSTM/CNN-BiLSTM/长短记忆神经网络系列时序、回归预测和分类

2.9 RBF径向基神经网络时序、回归预测和分类

2.10 DBN深度置信网络时序、回归预测和分类

2.11 FNN模糊神经网络时序、回归预测

2.12 RF随机森林时序、回归预测和分类

2.13 BLS宽度学习时序、回归预测和分类

2.14 PNN脉冲神经网络分类

2.15 模糊小波神经网络预测和分类

2.16 时序、回归预测和分类

2.17 时序、回归预测预测和分类

2.18 XGBOOST集成学习时序、回归预测预测和分类

2.19 Transform各类组合时序、回归预测预测和分类

方向涵盖风电预测、光伏预测、电池寿命预测、辐射源识别、交通流预测、负荷预测、股价预测、PM2.5浓度预测、电池健康状态预测、用电量预测、水体光学参数反演、NLOS信号识别、地铁停车精准预测、变压器故障诊断

🌈图像处理方面

图像识别、图像分割、图像检测、图像隐藏、图像配准、图像拼接、图像融合、图像增强、图像压缩感知

🌈 路径规划方面

旅行商问题（TSP）、车辆路径问题（VRP、MVRP、CVRP、VRPTW等）、无人机三维路径规划、无人机协同、无人机编队、机器人路径规划、栅格地图路径规划、多式联运运输问题、 充电车辆路径规划（EVRP）、 双层车辆路径规划（2E-VRP）、 油电混合车辆路径规划、 船舶航迹规划、 全路径规划规划、 仓储巡逻

🌈 无人机应用方面

无人机路径规划、无人机控制、无人机编队、无人机协同、无人机任务分配、无人机安全通信轨迹在线优化、车辆协同无人机路径规划

🌈 通信方面

传感器部署优化、通信协议优化、路由优化、目标定位优化、Dv-Hop定位优化、Leach协议优化、WSN覆盖优化、组播优化、RSSI定位优化、水声通信、通信上传下载分配

🌈 信号处理方面

信号识别、信号加密、信号去噪、信号增强、雷达信号处理、信号水印嵌入提取、肌电信号、脑电信号、信号配时优化、心电信号、DOA估计、编码译码、变分模态分解、管道泄漏、滤波器、数字信号处理+传输+分析+去噪、数字信号调制、误码率、信号估计、DTMF、信号检测

🌈电力系统方面

微电网优化、无功优化、配电网重构、储能配置、有序充电、MPPT优化、家庭用电

🌈 元胞自动机方面

交通流 人群疏散 病毒扩散 晶体生长 金属腐蚀

🌈 雷达方面

卡尔曼滤波跟踪、航迹关联、航迹融合、SOC估计、阵列优化、NLOS识别

🌈 车间调度

零等待流水车间调度问题NWFSP、置换流水车间调度问题PFSP、混合流水车间调度问题HFSP、零空闲流水车间调度问题NIFSP、分布式置换流水车间调度问题 DPFSP、阻塞流水车间调度问题BFSP

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