题目传送门：P8329 ZJOI2022 树。
设 \(F(S)\) 表示第一棵树的叶子集合为 \(S\) 的方案数，\(G(T)\) 表示第二棵树的叶子集合为 \(T\) 的方案数。
那么答案即为 \(ans=\sum\limits_{S \cap T = \varnothing,S \cup T=\{1,2,3,\cdots,n\}} F(s)G(T)\)。
考虑容斥设 \(F'(s)\) 表示第一颗树的叶子集合包含于 \(S\) 的方案数，\(G'(T)\) 表示第二棵树的叶子集合包含于集合 \(T\) 的方案数。
那么
\[\begin{aligned}
ans &= \sum\limits_{S \cap T = \varnothing,S \cup T=\{1,2,3,\cdots,n\}} F(s)G(T) \\
&= \sum\limits_{S \cap T = \varnothing,S \cup T=\{1,2,3,\cdots,n\}} \sum\limits_{S' \subset S} \sum\limits_{T'\subset T} F'(S') G'(T') (-1)^{|S|-|S'|+|T|-|T'|} \\
&= \sum\limits_{S' \cap T' = \varnothing} F'(S') G'(T') (-1)^{n-|S'|-|T'|} 2 ^{n-|S'|-|T'|} \\
&= \sum\limits_{S' \cap T' = \varnothing} F'(S') G'(T') (-2)^{n-|S'|-|T'|}\end{aligned}
\]
相当于对于不在 \(S',T'\) 中的数带了 \(-2\) 的贡献。
考虑 dp，设 \(dp_{i,j,k}\) 表示确定 \([1,i]\) 中 \(S',T'\) 的情况，且 \(|\{1,2,3,\cdots ,i\}\cap S'|=j,|\{i+1,i+2,\cdots n\}\cap T'|=k\) 的方案数。
转移的话考虑 \(i\) 属于哪里，并分配第一棵树 \(i\) 和第二棵树 \(i-1\) 父亲。
- 属于 \(S'\) 那么 \(f_{i,j,k}\leftarrow f_{i-1,j-1,k}(j-1)k\)。
- 属于 \(T'\) 那么 \(f_{i,j,k}\leftarrow f_{i-1,j,k-1}j(k-1)\)。
- 都不属于 \(f_{i,j,k}\leftarrow -2f_{i-1,j,k}jk\)
至于系数，父亲只能挂在非叶子节点上，而第二棵树上是叶子，那么第一棵树一定不是。
最后答案即为 \(\sum\sum f_{i,j,1}\)。
