自己出的大 shi 题。
题意
存在一个长为 \(n\) 的序列 \(A_{[1,n]}\cap\mathbb{Z}\)，满足 \(\forall i\in [1,n],0\leq A_i\leq V\)。称区间 \([l,r]\) 合法，当且仅当：
- \(1\leq l\leq r\leq n\)
- \(\sum_{i=l}^rA_i=V\)
给定 \(n,V\)，若 \(A_i\) 在 \(0\sim V\) 中等概率生成，求这 \((V+1)^n\) 个序列的期望合法区间数，对答案取模 \(998244353\)。
\(T\) 组多测。
题解
首先你需要知道期望是有线性性质的，也就是 \(\sum_{i=1}^nE(a_i)=E(\sum_{i=1}^na_i)\)。
考虑运用这个性质。我们令 \(E(i)\) 为长度为 \(i\) 的合法区间的期望，可以的到答案为
\[\sum_{i=1}^nE(i)(n-i+1)
\]
其中 \(n-i+1\) 是选定区间左端点的方案数。
令 \(f(i)\) 表示满足长度为 \(i\) 的区间合法的方案数，可得 \(E(i)=\frac{f(i)}{V^i}\)
由插板法容易得到 \(f(i)=\binom{i+V-1}{i-1}\)，代回原式得答案为
\[\sum_{i=1}^n\frac{\binom{i+V-1}{i-1}}{V^i}
\]
考虑运用 Lucas 定理计算组合数。由于模数较大，我们分段打表算阶乘。若分段大小为 \(B\)，则时间复杂度为 \(O(nB\log_p V\log p)\)。
