日拱一卒之相位解包裹

1. 什么是相位解包裹？

核心概念

物理世界中的相位变化通常是连续的。
比如，一个波向前传播，它的相位会一直累积：0∘→360∘→720∘→1000∘…0^{\circ} \rightarrow 360^{\circ} \rightarrow 720^{\circ} \rightarrow 1000^{\circ} \dots0∘→360∘→720∘→1000∘…

但是，计算机或测量仪器（如矢量网络分析仪 VNA）在计算相位时，使用的是反正切函数（atan2 或angle）。这个函数的输出范围被死死限制在−π-\pi−π到+π+\pi+π（即−180∘-180^{\circ}−180∘到+180∘+180^{\circ}+180∘）之间。

一旦真实的相位超过180∘180^{\circ}180∘，它就会“卷”回去，变成−180∘-180^{\circ}−180∘。

相位解包裹就是通过算法，把这些丢失的“圈数”找回来，把锯齿状的折叠波形，还原成一条连续直线的真实波形。

2. 具体要如何做？（算法逻辑）

解包裹算法的核心逻辑非常简单，就是“检测跳变”。

假设我们有一串频率点f1,f2,f3…f_1, f_2, f_3 \dotsf1,f2,f3…，对应的测量相位是P1,P2,P3…P_1, P_2, P_3 \dotsP1,P2,P3…。

步骤如下：

从第 1 个点开始往后看。
计算相邻两个点的相位差：ΔP=Pcurrent−Pprevious\Delta P = P_{current} - P_{previous}ΔP=Pcurrent−Pprevious。
判断跳变：
- 如果ΔP<−π\Delta P < -\piΔP<−π（比如从+3+3+3突变到−3-3−3）：说明相位实际上是增加了，但被折叠了。我们需要给当前的相位加上2π2\pi2π。
- 如果ΔP>+π\Delta P > +\piΔP>+π：说明相位实际上减少了。我们需要给当前的相位减去2π2\pi2π。
累积修正：记录下你加了（或减了）多少个2π2\pi2π，后续所有的点都要加上这个累积值。

注意：为了让这个算法生效，采样的频率点必须足够密。如果两个频率点之间的真实相位差本身就超过了180∘180^{\circ}180∘，算法就会误判，导致“解包裹失败”。

3. MATLAB 举例说明

clc;clear;close all;%% 1. 模拟物理场景f=linspace(1e9,10e9,201);% 频率：1GHz 到 10GHztime_delay=1.5e-9;% 假设真实的物理时延是 1.5纳秒% 【真实相位】：随着频率增加，相位线性滞后% 公式：Phi = -omega * t = -2 * pi * f * ttrue_phase=-2*pi*f*time_delay;%% 2. 模拟测量数据 (包裹相位)% 仪器测量的是 S 参数 S = exp(j * true_phase)% 使用 angle() 函数提取相位，结果会被限制在 -pi 到 +pi 之间s_param=exp(1i*true_phase);wrapped_phase=angle(s_param);%% 3. 执行相位解包裹% MATLAB 自带函数 unwrap()unwrapped_phase=unwrap(wrapped_phase);%% 4. 手动实现解包裹 (原理演示)% 为了让你看懂原理，这里写一个简单的 for 循环版本manual_unwrapped=zeros(size(wrapped_phase));manual_unwrapped(1)=wrapped_phase(1);cumulative_correction=0;% 累积的 2pi 修正量fork=2:length(wrapped_phase)delta=wrapped_phase(k)-wrapped_phase(k-1);ifdelta<-pi% 发生了向下的断崖跳变，说明真实相位还在往上涨cumulative_correction=cumulative_correction+2*pi;elseifdelta>pi% 发生了向上的断崖跳变cumulative_correction=cumulative_correction-2*pi;endmanual_unwrapped(k)=wrapped_phase(k)+cumulative_correction;end%% 5. 绘图对比figure('Color','w','Position',[1001001000600]);subplot(2,1,1);plot(f/1e9,true_phase,'k--','LineWidth',2);hold on;plot(f/1e9,wrapped_phase,'r-','LineWidth',1.5);grid on;legend('真实相位 (物理值)','测量相位 (Wrapped, -pi to pi)');xlabel('Frequency (GHz)');ylabel('Phase (rad)');title('现象：真实相位 vs 测量相位');% 这里的红色曲线就是你在 VNA 上看到的锯齿波subplot(2,1,2);plot(f/1e9,unwrapped_phase,'b-','LineWidth',3);hold on;plot(f/1e9,manual_unwrapped,'g--','LineWidth',2);grid on;legend('MATLAB unwrap()','手动 for 循环解包裹');xlabel('Frequency (GHz)');ylabel('Phase (rad)');title('结果：解包裹后的相位');% 这里的蓝色直线，才能用来求斜率 k，进而算出时延

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结果解读

图1（上半部分）：
- 黑色虚线是电磁波真实的相位，它是一条很陡的向下倾斜的直线（数值可能达到 -100 弧度）。
- 红色实线是模拟仪器测出来的。你看它在−π-\pi−π和+π+\pi+π之间来回震荡，像一把锯齿（Sawtooth）。
- 如果直接对红色曲线做线性拟合，得到的斜率是完全错误的。
图2（下半部分）：
- 蓝色实线是经过unwrap后的结果。
- 可以看到，锯齿被拼接起来了，完美还原了黑色的真实直线。
- 这时候你再去算斜率（Slope），就能算出准确的time_delay。