cf div2 1073 D1,D2

算是寒假的第一把 cf，被这道题意极其绕的两个题困扰了许久，遂写题解记录思考过程。

D1. Sub-RBS (Easy Version)

意外的是，赛时写出的代码竟然与官解思路是一模一样的。但其实发现还可以转化成一个更强的结论，这也是能够做出 D2 的关键。

我的做法是：只需要固定原序列的某个以右括号结尾的前缀，并将结尾的右括号替换成其右侧最近的左括号（替换的是选择的位置）。这样，这个右括号被替换成了左括号，剩余的前一部分和原前缀相同，正好满足了题目描述的 better 条件。那么我们接下来就只需要尽可能扩大剩余的选择长度，使得选择的子序列是 RBS 即可。

容易发现，在 “将结尾的右括号替换成其右侧最近的左括号” 这一过程中，我们跳过的全部都是右括号，而 RBS 要求左右括号数量相同。那么我们可以猜想：是不是剩余部分有足够的左括号供我们跳过，其他部分全选，形成的就一定是 RBS 了？赛时并没有继续深入思考这一点，而是勇了一把直接猜结论，正好猜对了。事实上也可以证明出来一定是这样：

首先需要明确 RBS 的定义：将左括号当作 \(1\)，右括号当作 \(-1\)，求该括号串的前缀和 \(pre\)。那么一个括号串是 \(RBS\)，当且仅当：

• 末尾项 \(pre\) 等于 \(0\)
• 前缀所有位置的 \(pre \geq 0\)

显然，我们去除的是等量的左右括号，最终子序列的 \(pre\) 值一定仍然为 \(0\)；且在去除括号序列在顺序上满足：所有右括号均在左侧，所有左括号均在右侧。那么贪心地思考，前缀所有位置的 \(pre\) 显然仍是非负的。因此，上述两个条件都满足，形成的子序列一定是 \(RBS\)，证毕。

综上，我们只需要枚举所有原序列中以右括号结尾的前缀，计算该情况下可选出的最长 RBS，所有情况取最大值就可以了。具体实现见代码。

code

D2. Sub-RBS (Hard Version)

继续思考 D1 有没有什么更强的结论存在：我们发现，若每次选择的是 紧右侧是'(' 的 ')'，那么跳过的 ')' 数量就会减少，进而剩余部分需要跳过的 '(' 数量也会减少，那么条件就会更加宽松；并且这样做还能扩大答案的长度，何乐而不为呢？于是，我们会发现：

• 若有解，则答案一定是 \(n-2\)
• 原序列中的子序列 \(t\) better，当且仅当 \(t\) 是一个 RBS ，并且在 \(t\) 中存在 “)(”，并且其右侧存在 '(' （进一步思考，其实就是存在子序列 ")(("（不一定连续），因为只有'(' ')'两种字符）

其中第二个条件就是衡量子序列价值的一个关键条件，必须要发掘到，要不然 D2 就会特别难想。

D2 要求原序列的所有子序列的总价值之和，而每个子序列价值经过我们上述处理变为了一个非常清晰的特征。于是我们可以考虑如何 \(dp\) 了。

\(dp\) 过程直接贴官解了，写得非常清晰易懂：

code