AT_arc108_e [ARC108E] Random IS

考虑一个 \(O(n^3)\) 做法。设 \(f_{i, j}\) 为取到区间 \([i, j]\) 且 \(i, j\) 两端点都被取到的椅子数量期望是多少，最后用 \(n\) 减一下就可以了，转移就是枚举此时新选择的一个点 \(k\)，然后你注意到 \([i, k - 1], [k + 1, j]\) 似乎有很多地方的值可以转移，记录一个二维前缀和即可做到 \(O(n^3)/O(n^3\log n)\)，为了能够算出概率系数，我们还需要一个 \(g_{i, j}\) 表示此时期望还能在 \([i, j]\) 中选出的数的个数，根据期望的线性性，这样就可以转移了。

题解给出了一种更为深刻的刻画方式，考虑此时选中 \(i, j\)，那么如果下一个选中的数在 \([i, j]\) 中，那么其概率与全局独立，只与 \([i, j]\) 有关，这是因为 \(a_i, a_j\) 提供的最紧的限制。那么设 \(f_{i, j}\) 为期望意义下还能选出的数的期望，请注意，这个状态的精妙之处就在于其是期望，不与个数的多少有关，根据期望的线性性，你每时每刻都可以当成一个数去理解，从而不必考虑全局还有多少个数能够选出的限制。转移即为（设 \(g_{i, j}\) 为小于 \(a_j\) 大于 \(a_i\) 在 \([i, j]\) 里的个数）：

\[f_{i, j} = \frac{\sum_{i \le k \le j, a_i \le a_k \le a_j}f_{i, k} + f_{k, j}}{g_{i, j}} + 1 \]

使用树状数组即可完成优化。