洛谷 P10931：闇の連鎖 ← 树上差分（边差分）+ dfs预处理

​【题目来源】
https://www.luogu.com.cn/problem/P10931
https://www.acwing.com/problem/content/354/

【题目描述】
传说中的暗之连锁被人们称为 Dark。
Dark 是人类内心的黑暗的产物，古今中外的勇者们都试图打倒它。
经过研究，你发现 Dark 呈现无向图的结构，图中有 N 个节点和两类边，一类边被称为主要边，而另一类被称为附加边。
Dark 有 N-1 条主要边，并且 Dark 的任意两个节点之间都存在一条只由主要边构成的路径。
另外，Dark 还有 M 条附加边。
你的任务是把 Dark 斩为不连通的两部分。一开始 Dark 的附加边都处于无敌状态，你只能选择一条主要边切断。
一旦你切断了一条主要边，Dark 就会进入防御模式，主要边会变为无敌的而附加边可以被切断。
但是你的能力只能再切断 Dark 的一条附加边。
现在你想要知道，一共有多少种方案可以击败 Dark。
注意，就算你第一步切断主要边之后就已经把 Dark 斩为两截，你也需要切断一条附加边才算击败了 Dark。

【输入格式】
第一行包含两个整数 N 和 M。
之后 N-1 行，每行包括两个整数 A 和 B，表示 A 和 B 之间有一条主要边。
之后 M 行以同样的格式给出附加边。

【输出格式】
输出一个整数表示答案。​​​​​​​

【输入样例】
4 1
1 2
2 3
1 4
3 4

【输出样例】
3

【数据范围】
数据保证，1≤N≤100000，1≤M≤200000，数据保证答案不超过2^31-1。

【算法分析】
● 树上差分
树上差分是一种在树上高效处理路径修改和查询的算法技巧，核心思想是将路径操作转化为对节点差分数组的单点修改，最后通过一次遍历还原出结果。 它特别适合处理‌多次对树上路径进行加减操作，最后查询某个点或边的权值‌这类问题。
（一）核心思想
点差分‌：对路径 (x, y) 上所有点的权值进行修改。通过在 x 和 y 处 +val，在 lca(x,y) 和其父节点处 -val，最后通过 DFS 自底向上求和即可还原路径上的权值。具体操作为：对路径 (x, y) 加 val，执行 diff[x] += val, diff[y] += val, diff[lca] -= val, diff[fa[lca]] -= val。
边差分‌：对路径 (x, y) 上所有边的权值进行修改。通常将边权下放给深度较大的子节点，转化为点权问题，处理方式与点差分类似。具体操作为：对路径 (x, y) 加 val，执行 diff[x] += val, diff[y] += val, diff[lca] -= 2 * val（假设边权下放给子节点）。
（二）适用场景
点差分‌：路径点权修改、子树点权修改、查询点权。
边差分‌：路径边权修改、查询边权。
（三）与其他算法对比
与线段树对比‌：树上差分代码简洁，适合离线操作；线段树支持在线查询，但常数较大。
与树链剖分对比‌：树上差分处理路径修改更高效；树链剖分功能更强大，支持复杂路径查询。

● LCA ← 树上差分常用 LCA
（1）暴力法（向上标记法）：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/152026341
（2）暴力法（同步前进法‌）：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/152070927
（3）倍增法（DFS预处理）：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/152203103
（4）倍增法（BFS预处理）：​​​​​​​https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/152234376

【算法代码】
本题代码中的 dfs1、getLCA、dfs2，与“洛谷 P3258：[JLOI2014] 松鼠的新家”的 dfs1、getLCA、dfs2 完全一致。差别仅在于 main 函数的微小区别。详见：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/157249288

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N=1e5+5;
const int LOG=20;
vector<int> g[N];
int dep[N],f[N][LOG+5];
int d[N],a[N];
int ans;void dfs1(int u,int fa) { //preprocessdep[u]=dep[fa]+1;f[u][0]=fa;for(int i=1; (1<<i)<=dep[u]; i++) { //i<=LOGf[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1];}for(auto j:g[u]) {if(j!=fa) dfs1(j,u);}
}int getLCA(int u,int v) {if(dep[u]<dep[v]) swap(u,v);for(int i=LOG; i>=0; i--) {if(dep[f[u][i]]>=dep[v]) u=f[u][i];}if(u==v) return u;for(int i=LOG; i>=0; i--) {if(f[u][i]!=f[v][i]) {u=f[u][i],v=f[v][i];}}return f[u][0];
}void dfs2(int u,int fa) {for(int j:g[u]) {if(j==fa) continue;dfs2(j,u);d[u]+=d[j];}
}int main() {ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int n,m;cin>>n>>m;for(int i=1; i<n; i++) {int u,v;cin>>u>>v;g[u].push_back(v);g[v].push_back(u);}dfs1(1,-1);for(int i=1; i<=m; i++) {int x,y;cin>>x>>y;int lca=getLCA(x,y);d[x]++,d[y]++,d[lca]-=2;}dfs2(1,-1);for(int i=2; i<=n; i++) {if(d[i]==0) ans+=m;else if(d[i]==1) ans++;}cout<<ans<<'\n';return 0;
}/*
in:
4 1
1 2
2 3
1 4
3 4out:
3
*/

 

 

【参考文献】
https://mp.weixin.qq.com/s/dcL51ybKyYj_cvEdTGgSIg
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/157249288
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/157199762
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/157222442
https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/157245297

 

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