图论杂题选做 #2

图论杂题选做 #2

Problem A. P13548 [OOI 2022] Air Reform

暴力的想法是，建出补图，补图的边权用 Kruskal 重构树来求，然后再求补图的 Kruskal 重构树，最后算答案。

但是补图的边数太多了，不能直接建。考虑枚举边权，也就是在原图的重构树上从叶子到根进行考虑，尽量早合并。

假设现在考虑到重构树上的节点 \(x\)，需要把左右儿子的连通块合并起来，其中有一些限制边。

启发式合并连通块，假设左儿子 \(siz\) 较小。设左儿子连通块集合为 \(L\)，右儿子的为 \(R\)。枚举 \(L\) 中的所有连通块 \(S_i\)，枚举所有点 \(x\)，枚举 \(R\) 中所有连通块 \(T_j\)，枚举 \(T_j\) 中所有点 \(y\)。如果 \(x,y\) 没有限制边，那么就合并 \(S_i,T_j\)，把 \(T_j\) 从 \(R\) 中删去；处理完 \(S_i\) 后，将其扔进 \(R\) 里，继续考虑下一个 \(S\)。

若 \(x,y\) 之间没有连边，会直接合并，只有 \(O(n)\) 次。 所以只需要计算 \(x,y\) 这条边被枚举多少次。

当 \((x,y)\) 第一次被枚举时，把这个贡献摊给边；后面再被枚举，只可能是 \(x,y\) 本来都在 \(L\) 里，\(x\) 又被扔进 \(R\)，处理 \(y\) 时又一次枚举到这条边。由于我们 \(L,R\) 是启发式合并，每个点合并次数不会超过 \(\log n\) 次，所以 \((x,y)\) 最多会被枚举 \(\log n+1\) 次。

启发式合并用 set 维护，复杂度 \((m\log^2 m)\)。

https://www.luogu.com.cn/record/258474973