2025.12.27 作业 - # P7243 最大公约数

题目背景

  “寻求最大公约数是人民民主的真谛。……”

  初秋，从枝丫滴下的阳光，柔和，在教室的窗棱溅起，润湿晨读的少女的脸颊。

  “阿绫，阿绫”，天依低俯身子，八字辫耷拉在竖起的课本沿，“我们的最大公约数是多少呢？”

  “一定不小吧”，左手悄悄捏捏天依的小臂，“比如呀，有一个公因子，叫做‘你喜欢我，我也喜欢你’。”

题目描述

相反，人际圈形形色色，公约数小得可怜，似乎很难保持自己的个性因而变成无趣的人呢。

现在把人际抽象成一个 \(n \times m\) 的矩形，每个人初始的个性为 \(a_{i,j}\)。从第二天开始，每个人会与上下左右四个人（如果存在）建立人际关系，其个性变为昨天自己和四周人个性的最大公约数。那么对于第 \(x\) 行第 \(y\) 列的人，在多少天后他的个性会变为 \(1\) 呢？

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简化题意

有一个 \(n \times m\) 的矩阵 \(a\)。对一个矩阵进行变换，定义为将这个矩阵内的所有元素变为其上下左右四个元素（不存在则忽略）及自身的最大公约数。询问 \(a_{x,y}\) 在进行最少多少次变换之后会变成 \(1\)。如果可以使 \(a_{x,y}\) 经过若干次变换变成 \(1\)，输出其中最小的次数；否则输出 \(-1\)。

输入格式

第一行两个整数 \(n,m\)，表示矩阵的行数和列数。

接下来 \(n\) 行，每行 \(m\) 个整数，第 \(i\) 行第 \(j\) 列的整数 \(a_{i,j}\) 描述了该位置的人的初始个性。

接下来一行两个整数 \(x,y\)，表示某个指定的人的位置。

输出格式

一行一个整数 \(d\)，表示第 \(x\) 行第 \(y\) 列的人的个性会在 \(d\) 天后变为 \(1\)；特别地，若永远不会变为 \(1\)，应输出 \(-1\)。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 2
2 2
1 2
2 1

输出 #1

0

输入输出样例 #2

输入 #2

2 2
2 2 
2 2
1 1

输出 #2

-1

输入输出样例 #3

输入 #3

3 3
3 2 3
2 3 2
3 2 3
2 2

输出 #3

1

说明/提示

样例解释 3

第一天的个性矩阵（也就是最开始的矩阵）为

\[\begin{pmatrix} 3&2&3\\ 2&3&2\\ 3&2&3 \end{pmatrix} \]

第二天的个性矩阵为

\[\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix} \]

可见只需要经过一天，\(a_{2,2}\) 就会变为 \(1\)，所以答案为 \(1\)。

数据规模与约定

本题采用捆绑测试。

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le n,m\le 2\times 10^3\)，\(1\le a_{i,j}\le 10^{18}\)，\(1\le x\le n\)，\(1\le y\le m\)。

子任务	分值	\(n,m\)	特殊限制
1	1	/	保证给出的位置个性永远不会变为 \(1\)
2	1	/	保证 \(a_{x,y}=1\)
3	3	$ \le 2$	/
4	10	$ \le 10^2$	/
5	30	$ \le 5\times 10^2$	/
6	10	/	保证对于所有的 \(a_{i,j} \le 2\)
7	10	/	保证 \(x\) 与 \(y\) 都等于 \(1\)
8	35	/	/

---

#include <iostream>
#define LL long long
using namespace std;
int n,m,s[4000003],Q[4000003][2];
LL a[2002][2002];
bool F[2002][2002];
const int dx[4]={0,1,0,-1};
const int dy[4]={-1,0,1,0};
LL gcd(LL ta, LL tb) {while (tb != 0) {LL temp = tb;tb = ta % tb; ta = temp;}return ta;
}
int main() {cin>>n>>m;for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=1;j<=m;j++) cin>>a[i][j];int x,y;cin>>x>>y;if (a[x][y]==1) { cout<<0<<endl; return 0; }F[x][y]=1;int f=0,r=1;LL val;Q[1][0]=x;Q[1][1]=y;val=a[x][y];s[1]=0;while (f<r) {f++;int xx,yy,tx,ty;xx=Q[f][0];yy=Q[f][1];for (int k=0;k<4;k++) {tx=xx+dx[k];ty=yy+dy[k];if (tx==0 || ty==0 || tx==n+1 || ty==m+1 || F[tx][ty]==1) continue;F[tx][ty]=1;val=gcd(val,a[tx][ty]);//cout<<tx<<" "<<ty<<" "<<val<<endl;if (val==1)  { cout<<s[f]+1<<endl;return 0;}r++;Q[r][0]=tx;Q[r][1]=ty;s[r]=s[f]+1;}}cout<<-1<<endl;return 0;
}