洛谷P1090 [NOIP 2004 提高组] 合并果子 题解

P1090 NOIP 2004 提高组 合并果子 题解

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题目大意

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现在有 \(n\) 堆果子，每堆果子的重量为 \(a_i\)，你要进行 \(n - 1\) 次合并。每次合并会把两堆果子合并成一堆果子，合并需要花费的体力为这两堆果子的重量之和，合并后果子的重量也为这两堆果子的重量之和。现在让你求出 \(n - 1\) 次合并花费的最小总体力。

思路

贪心思路

首先，很容易想到一个贪心：每次取重量最小的两堆果子，再取合并后重量最小的两堆果子，直到只有一堆果子为止。

证明过程

现在就要证明这个贪心，这里不妨先证明小范围贪心正确，再证明推导到大范围正确，就可以证明这个贪心正确。

step 1: 证明小范围贪心正确

假设现在只有 3 堆果子，果子的数量分别为 \(a,b,c\)，假设 \(a \le b \le c\)（\(a,b,c\) 的顺序与答案无关），现在开始需要先取 \(a, b\) 一定是最优的。

第一种情况：先取 \(a, b\)，最终答案为 \((a + b) + (a + b + c) = 2a + 2b + c\)。

第二种情况：先取 \(a, c\)，最终答案为 \((a + c) + (a + b + c) = 2a + b + 2c\)。

第二种情况：先取 \(b, c\)，最终答案为 \((b + c) + (a + b + c) = a + 2b + 2c\)。

现在需要比较 \(2a + 2b + c,2a+b + 2c,a+2b+2c\) 的大小关系。

因为三个式子都含有 \(a + b + c\)，所以可以消掉 把三个式子同时减去 \(a + b + c\)。

现在问题就变成了比较 \(a + b,a + c,b+c\) 的大小关系。

因为 \(a\le b \le c\)，所以 \(a + b \le a + c \le b + c\)。

所以第一种情况（先取 \(a, b\)）一定是最优的。

再举个例子说明，比如 \(a = 3, b = 5, c = 9\)。

第一种情况（先取 \(a,b\)）的答案是 \(2a + 2b + c = 25\)。

第二种情况（先取 \(a,c\)）的答案是 \(2a + b + 2c = 29\)。

第三种情况（先取 \(b,c\)）的答案是 \(a + 2b + 2c = 31\)。

通过比较也可以发现第一种情况（先取 \(a, b\)）是最优的。

step 2: 证明推导到大范围也正确

假设有 \(n(n > 3)\) 堆果子，合并完 \(n - 3\) 次之后，还剩 3 堆果子，可以用类似的方法证明取重量最小的两堆果子是最优的。

因此，取重量最小的两堆果子一定是最优的。

代码实现

选择 priority_queue 及使用方法

现在需要一种数据结构，能动态找到数据结构中最小值和次小值，并删除他们，再插入他们的和。

我这里采用的是 stl 库中的 priority_queue（优先队列，也被称为堆），可以在 \(O( \log n)\) 的时间复杂度内插入、查询优先队列中最大 / 最小值、删除优先队列中最大 / 最小值。

priority_queue 的使用方法如下。

//定义方法
#include <queue>//需要的头文件
priority_queue<int>q1;//定义一个大根堆，查询和插入的是最大值
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>>q1;//定义一个小根堆，查询和插入的是最小值//使用方法
q1.push(7);//往大根堆内插入一个值7
q1.push(4);//插入4
q1.push(12);//插入12
q1.top();//查询大根堆内的最大值，此时返回值为12
q1.pop();//删除大根堆内的最大值（删除12），没有返回值
q1.size();//查询优先队列数的个数，此时返回值为2
q1.top();//此时的最大值变成了7，所以返回7//小根堆的使用方法与大根堆的使用方法一样
q2.push(9);//插入一个数9
q2.top();//查询小根堆内最小值，返回9
q2.push(1);//插入1
q2.pop();//删除小根堆内最小值（删除1），同样没有返回值
q2.push(3);//插入3
q1.size();//查询优先队列数的个数，此时返回值为2
q2.top();//此时小根堆内的值为3和9，返回3

算法流程

输入输出我就不在这里说了，请读者自行思考。
1. 定义优先队列（小根堆）。
2. 将每堆果子的重量放进优先队列。
3. 取出小根堆中最小值和次小值，统计答案，放入他们的和。
4. 重复步骤三，直到只有一堆果子。

Code（只展示关键代码）

priority_queue<int, vector<int>, greater<int>>q;//1.定义小根堆
//2.将每堆果子的重量放进优先队列
//我在这里不放了，请读者自行思考
long long sum = 0;
while (q.size() > 1){//4.重复步骤三，直到只有一堆果子。int a1 = q.top();q.pop();int a2 = q.top();q.pop();//取出a1和a2，即最小值和次小值sum += a1 + a2;//统计答案q.push(a1 + a2);//放入他们的和
}