可持久化线段树 (Persistent Segment Tree)

1. 核心思想：共享结构 (Shared Structure)

• 基本原理：每次修改操作不复制整个结构，而仅创建\(O(\log n)\)个新节点。
• 关键技术：动态开点。
  • 每个节点显式存储左右儿子的索引。
  • 分配新索引时，不同版本的根节点（root）指向不同的子结构。

2. 数据结构定义 (Data Structure Definition)

/* by yours.tools - online tools website : yours.tools/zh/blood.html */ // 节点结构：包含左儿子、右儿子索引及维护的值 type Node: { le, ri, val } // 可持久化线段树主体 type Pers. SegTree: nodes[], // 存储所有节点的池子 roots[], // 存储不同版本的根节点索引 n // 维护序列的总长度 // 创建新节点函数 function newnode(l=0, r=0, v=0): nodes.append(Node(l, r, v)) return nodes.size() - 1

3. 可持久化更新操作 (Persistent Update)

核心逻辑：复制路径上的节点（此处以单点更新为例）。

/* by yours.tools - online tools website : yours.tools/zh/blood.html */ // 复制节点：从旧节点克隆信息到新节点 function copynode(old): nodes.append(nodes[old]) return nodes.size() - 1 /** * 更新操作 * @param prev : 上一版本的对应节点索引 * @param l, r : 当前区间范围 * @param pos : 待修改的位置 * @param val : 修改后的值 */ function update(prev, l, r, pos, val): cur = copynode(prev) // 复制当前节点，实现可持久化 if l == r: nodes[cur].val = val // 到达叶节点 (注：原笔记此处为.sum，语义等同) return cur mid = (l + r) >> 1 if pos <= mid: // 递归更新左子树，并将新生成的节点索引连在当前节点的左儿子上 nodes[cur].le = update(nodes[cur].le, l, mid, pos, val) else: // 递归更新右子树 nodes[cur].ri = update(nodes[cur].ri, mid + 1, r, pos, val) pushup(cur) // 向上更新当前节点的信息 return cur

4. 经典应用：区间第\(k\)小 (Static Range K-th Smallest)

• 问题描述：给定长度为\(n\)的数组，进行\(q\)次查询，每次查询区间\([l, r]\)中第\(k\)小的元素。
• 技术要点：
  • 值域建树：针对数值范围（或离散化后的秩）建立线段树。
  • 版本前缀和：依次从\(1 \sim n\)插入元素，建立\(n\)个版本。第\(i\)个版本存储了前\(i\)个元素的分布情况。
  • 区间转化：利用前缀和思想，查询\([l, r]\)等价于在“第\(r\)个版本”与“第\(l-1\)个版本”的差异结构上进行二分查找。

5. 带修改的区间第\(k\)小 (Dynamic Range K-th Smallest)

• 局限性：标准主席树是前缀和结构（线性的），单点修改会导致后续所有版本失效。
• 解决方案：
  • 结合BIT (树状数组)的二进制结构进行分解。
  • 用 BIT 维护一束线段树（树套树）。
  • 操作：修改操作变为修改 BIT 中的\(\log n\)棵树；查询时在\(2\log n\)个对应的版本节点上同步二分。
• 复杂度：时间复杂度\(O(n \log^2 n)\)。

6. 可持久化并查集 (Persistent DSU)

• 实现方式：利用主席树实现可持久化数组，以此维护并查集的fa（父亲）和rank（按秩合并高度）。
• 操作逻辑：
  • 每次find和unite操作基于某个版本进行。
  • 必须使用按秩合并，避免使用路径压缩（路径压缩会破坏版本结构且导致大量节点新建）。
• 复杂度：\(O(\log^2 n)\)（主席树访问\(\log n \times\)并查集深度\(\log n\)）。
• 注意：底层基本操作返回新节点索引，高层逻辑函数返回新版本的根节点编号。

7. ⚠️ 警告与经验总结

• 空间预分配：可持久化线段树空间开销巨大，通常需要开到\(40n\)或\(25(n+q)\)左右。
• 修改原则：每次修改必须先复制原节点，在副本上进行修改，严禁直接改动历史版本的数据！

8. 经典例题解析

例题 23.3 (CF 893F)

• 题目：给定一棵\(n\)个点的有根树，点有权值。\(q\)次查询点\(u\)的子树中，深度不超过\(dep(u)+k\)的节点中的最小权值。
• 解法：
  1. 求出树的DFS 序，子树在序中对应一个连续区间。
  2. 在 DFS 序上建立以深度 (dep)为索引的主席树。
  3. 查询时在对应的子树区间版本内，进行深度范围内的前缀最小值查询。

例题 23.5 (CF 840D)

• 题目：给定长度\(n\)的数组\(a\)，\(q\)次查询\([l, r]\)中出现次数严格大于\(\frac{r-l+1}{k}\)的最小元素。
• 核心逻辑：鸽巢原理。出现次数超过\(\frac{len}{k}\)的数，最多只有\(k-1\)个（当\(k=5\)时，最多 4 个）。
• 方案 I：主席树 + 二分
  • 在线段树上查找时，只进入那些“节点计数值\(> \frac{len}{k}\)”的子树。
• 方案 II：随机化
  • 在\([l, r]\)随机抽样\(M\)次，总成功概率为\(1 - (\frac{k-1}{k})^M\)。
• 技巧补充：
  • 先离散化。
  • 利用std::vector记录每个数值出现的所有索引。
  • 通过两次std::upper_bound相减，可在\(O(\log n)\)内\(O(1)\)检查某个数在\([l, r]\)的实际出现次数。

补充 (Lecturer's Supplements)

1. 关于动态第\(k\)小：在使用 BIT 维护主席树时，空间压力极大。如果题目允许离线，CDQ 分治通常是空间更优的替代方案。
2. 关于按秩合并：在可持久化并查集中，如果不按秩合并而只用路径压缩，单次操作的最坏复杂度会退化，且新建节点过多会导致 MLE（内存超限）。
3. CF 840D 的阈值：该题中\(k\)的范围通常很小（如\(k=5\)），这使得我们可以在线段树上同时递归多条分支而不会影响\(O(\log n)\)的查询量级。

第一档习题集

N1. 模 12 加法群的子群

• 已知：\(G = \mathbb{Z}_{12}\)，\(H = \langle 4 \rangle = \{0, 4, 8\}\)。

1. \(H\)的全部左陪集：
   • \(0 + H = \{0, 4, 8\}\)
   • \(1 + H = \{1, 5, 9\}\)
   • \(2 + H = \{2, 6, 10\}\)
   • \(3 + H = \{3, 7, 11\}\)
2. 指数：\([G : H] = 4\)。
3. 拉格朗日定理验证：\(|G| = [G : H] \cdot |H|\)，即\(12 = 4 \times 3\)。
4. 完全代表系(Transversal)：\(\{0, 1, 2, 3\}\)。

N2. 模 15 乘法群的子群

• 已知：\(G = \mathbb{Z}_{15}^* = \{1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14\}\)（注：与 15 互素的元素）。
• 子群：\(H = \langle 4 \rangle\)。
  • \(4^1 \equiv 4\)，\(4^2 \equiv 16 \equiv 1 \pmod{15}\)，故\(|H| = 2\)。
  • \(H = \{4, 1\}\)。
• 指数：\([G : H] = 8 / 2 = 4\)。
• 所有陪集：
  • \(1 \cdot \{4, 1\} = \{4, 1\}\)
  • \(2 \cdot \{4, 1\} = \{8, 2\}\)
  • \(7 \cdot \{4, 1\} = \{13, 7\}\)
  • \(11 \cdot \{4, 1\} = \{14, 11\}\)

N3. 对称群\(S_3\)的陪集（非正规子群示例）

• 已知：\(G = S_3\)，\(H = \{e, (12)\}\)。
• 首先\(H \leq G\)且\(\langle (12) \rangle = H\)，故\(H < G\)。
• 计算左陪集(\([G:H]=3\))：
  • \(e H = \{e, (12)\}\)
  • \((13) H = \{(13), (13)(12)=(123)\}\)
  • \((23) H = \{(23), (23)(12)=(132)\}\)
• 计算右陪集：
  • \(H e = \{e, (12)\}\)
  • \(H (13) = \{(13), (12)(13)=(132)\}\)
  • \(H (23) = \{(23), (12)(23)=(123)\}\)
• 结论：左右陪集显然不同（如\((13)H \neq H(13)\)），因为\((13)(12)=(123)\)而\((12)(13)=(132)\)。

N4. 循环群的子群链

• 已知：\(G = \mathbb{Z}_{24}\)，\(H = \langle 6 \rangle\)，\(K = \langle 12 \rangle\)。
• 包含关系：显然\(H, K \leq G\)。
  • 且由于\(6 \mid 12 \Rightarrow \langle 12 \rangle \leq \langle 6 \rangle\)。
  • \(H = \{ \langle 12 \rangle, 6 + \langle 12 \rangle \} = \{0, 6, 12, 18\}\)。
• 结论：\(K \leq H \leq G\)。
  • \(G = \{H, 1+H, \dots, 5+H\}\)。
  • 指数计算：\([G:H]=6, [H:K]=2, [G:K]=12\)。

N7. 组合数学/算法 (CF 1422C)

题目：给一个正整数（以字符串形式），可删其中一个连续子串，求所有可能剩余数之和\(\pmod P\)。

• 核心策略：按位计算贡献。
• 位置\(i\)处数字\(a_i\)的贡献（设\(i\)为从前往后第\(i\)位，下标从 1 开始）：
  1. \(a_i\)在被删子串左侧：其位权保持不变。
  2. \(a_i\)在被删子串右侧：其位权因右侧位被删而发生位移。
• 贡献公式：
  对于第\(i\)位的数字\(a_i\)：
  \[\text{Contribution} = \left( \sum_{dlen=1}^{i-1} (i - dlen) 10^{i-1-dlen} \right) \times a_i + 10^{i-1} \times \frac{(n-i)(n-i+1)}{2} \times a_i \]
  记左侧贡献累加项为\(F_i\)：
  \[F_i = \sum_{d=1}^{i-1} (i-d) 10^{i-1-d} = 10 F_{i-1} + \frac{10^{i-1}-1}{9} \]
  (注：原笔记末尾推导公式为\(F_i = 10 F_{i-1} + \frac{10^{i-1}-1}{9}\)，这利用了等比数列求和性质。)

N8. 线性同余方程 (Linear Congruence Equation)

• 问题：给定\(a, b, n\)，求方程\(ax \equiv b \pmod n\)的所有解。
• 步骤：
  1. 设\(g = \gcd(a, n)\)。
  2. 同除最大公约数：若\(g \mid b\)，方程两边同除以\(g\)，得到\(a'x \equiv b' \pmod{n'}\)。
     • 其中\(a' = a/g, b' = b/g, n' = n/g\)。
     • 若\(g \nmid b\)，则原方程无解。
  3. 求解：求出\(x \equiv x_0 \pmod{n'}\)（通常利用扩展欧几里得算法求解\(a'x + n'y = b'\)）。
  4. 所有解：在模\(n\)意义下，原方程共有\(g\)个解，形式为：
     \[x \equiv kn' + x_0 \pmod n, \quad k \in \{0, 1, \dots, g-1\} \]

N9. 循环子群的陪集

• 已知：\(d \mid n\)，对于\(\mathbb{Z}_n\)的子群\(H = \langle d \rangle\)。

1. 最小非负代表元：\(\{0, 1, 2, \dots, d-1\}\)。
2. 陪集判定：给定\(x\)，其所在的陪集为\((x \bmod d) + H\)。

H1. 陪集的交与 Poincaré 定理 (Poincaré's Theorem)

设\(H, K \leq G\)，证明：

1. \(H \cap K\)是\(G\)的子群。
2. \([G : H \cap K] \leq [G : H][G : K]\)。
3. 若\(\gcd([G : H], [G : K]) = 1\)，则\([G : H \cap K] = [G : H][G : K]\)。

证明要点：

• (i) 子群判定：若\(a, b \in H \cap K\)，则\(a, b \in H\)且\(a, b \in K\)。由子群一步判定法，\(a^{-1}b \in H\)且\(a^{-1}b \in K\)，故\(a^{-1}b \in H \cap K\)。
• (ii) 构造单射：构造映射\(\psi: G/(H \cap K) \to G/H \times G/K\)，定义为\(\psi(g(H \cap K)) = (gH, gK)\)。
  • \(\psi\)是良定义的且是单射。
  • 根据公式\(|HK| = \frac{|H||K|}{|H \cap K|}\)，当且仅当\(G = HK\)时取等号。
• (iii) 指数整除性：由于\([G : H \cap K]\)既是\([G : H]\)的倍数，也是\([G : K]\)的倍数，且两者互质，故其至少是\([G : H][G : K]\)的倍数。结合 (ii) 的结论，强制取等。

H2. 有限指数子群性质 (群作用视角)

• 命题：若\(H \leq G\)，\([G : H] = n\)，证明：\(\forall g \in G, g^{n!} \in H\)。
• 证明：
  1. 构造作用：考虑\(g\)在左陪集空间\(G/H\)上的左乘作用：\(\psi_g(aH) = gaH\)。
  2. 置换表示：由于映射是单射（且是对映），\(\psi_g\)本质上是\(n\)个陪集上的一个置换。
  3. 阶的限制：所有置换构成的对称群\(S_n\)的阶为\(n!\)。
  4. 结论：根据 Lagrange 定理，\(\psi_{g^{n!}}\)必定是单位变换\(\text{id}\)。
     • 即\(\psi_{g^{n!}}(eH) = eH \Rightarrow g^{n!}H = H \Rightarrow g^{n!} \in H\)。
• 推论：若\(H \trianglelefteq G\)（正规子群），则可加强为\(g^n \in H\)。

补充 (Lecturer's Supplements)

1. 关于 H1 (iii) 的直观理解：这在数论中对应于：如果一个数既是\(a\)的倍数又是\(b\)的倍数，且\(\gcd(a,b)=1\)，那它一定是\(ab\)的倍数。
2. 关于 H2 的深度：这个证明引入了群表示论的初步思想——将抽象群作用于集合上转化为置换。这在证明一些关于有限指数子群的存在性问题（如正规核 Normal Core）时非常有用。
3. 线性同余方程组：N8 是处理单个方程，如果是多个方程（且模数互质），则需要用到中国剩余定理 (CRT)。

H3. 正规化子与陪集 (Normalizer & Conjugation)

• 定义：设\(H \leq G\)，定义\(H\)在\(G\)中的正规化子为\(N_G(H) = \{g \in G : gHg^{-1} = H\}\)。

证明要点：

1. \(N_G(H) \leq G\)且\(H \trianglelefteq N_G(H)\)：
   • \(H\)在\(G\)的共轭作用下的稳定子 (Stabilizer) 正是\(N_G(H)\)。由于稳定子必为子群，故\(N_G(H) \leq G\)。
   • 由定义，\(\forall g \in N_G(H)\)均有\(gH = Hg\)，这满足正规子群的充要条件，故\(H \trianglelefteq N_G(H)\)。
2. \(H\)的不同共轭子群个数为\([G : N_G(H)]\)：
   • 考虑\(G\)通过共轭作用作用于其子群集合。\(H\)的轨道 (Orbit) 即为所有共轭子群。由轨道-稳定子定理 (Orbit-Stabilizer Theorem)，轨道大小等于指数\([G : \text{Stab}(H)]\)，即\([G : N_G(H)]\)。
3. 若\([G : H] = p\)（\(p\)为素数），则\(H \trianglelefteq G\)或\(N_G(H) = H\)：
   • 利用指数传递性：\([G : N_G(H)] \cdot [N_G(H) : H] = [G : H] = p\)。
   • 由于\(p\)是素数，因子只能是\(1\)或\(p\)。
   • 若\([G : N_G(H)] = 1 \Rightarrow G = N_G(H) \Rightarrow H \trianglelefteq G\)。
   • 若\([G : N_G(H)] = p \Rightarrow [N_G(H) : H] = 1 \Rightarrow N_G(H) = H\)。

H4. 双陪集 (Double Cosets)

• 定理：设\(G\)是有限群，\(H, K \leq G\)，则双陪集\(HgK\)的大小为：
  \[|HgK| = \frac{|H||K|}{|H \cap gKg^{-1}|} \]
• 证明思路：直接考虑\(|HgK| = |H(gKg^{-1})g| = |H(gKg^{-1})|\)。根据乘积准则\(|AB| = \frac{|A||B|}{|A \cap B|}\)，结论成立。
• 计算实例：在\(S_4\)中，当\(H, K = S_3\)时，求双陪集\(H(14)K\)的大小：
  • \(|H| = 3! = 6\)，\(|K| = 6\)。
  • 经计算\(|H \cap (14)K(14)| = |\{e, (23)\}| = 2\)。
  • 故\(|H(14)K| = \frac{6 \times 6}{2} = 18\)。

H5. (CF 484E) Sign on Fence

• 题目：给定序列\(h_n\)，进行\(m\)次询问，求区间\([l, r]\)中长度为\(w\)的连续子段最小值的最大值。
• 解法一：二分 + 主席树。
  • 对值域建树，维护区间内“激活”状态（即值\(\geq mid\)）的最大连续长度。
• 解法二：线段树 + 整体二分。
  • 需仔细维护区间贡献，属于经典操作。

H6. (CF 840D) Destiny

• 讲义前文已提及。核心在于主席树上暴力搜索，利用\(k \leq 5\)保证递归分支极少，从而保证复杂度。

H8. (SPOJ - DQUERY)

• 题目：给定\(a_n\)，\(m\)次询问\([l, r]\)中不同元素的个数（\(n, m \leq 10^6\)）。
• 经验总结：
  • 直接用主席树配合整体二分可能会 TLE（常数或复杂度瓶颈）。
  • 巧妙构造：考虑离线算法 + 树状数组。
  • 核心思想：对于相同的元素，只在它最后出现的位置贡献\(1\)。从左向右扫描，移动\(r\)时更新树状数组中“最后出现位置”的权值，查询\([l, r]\)的和即可。这种“权值单点更新”配合树状数组非常巧妙。

补充 (Lecturer's Supplements)

1. 关于双陪集分解：请注意，双陪集\(HgK\)通常不是群，且不同的双陪集大小可能不同。它们构成了\(G\)的一个轨道分解。
2. 关于 DQUERY 的空间优化：如果必须在线查询 DQUERY，可以使用主席树：对于每个位置\(i\)，版本\(i\)存储前\(i\)个数，且只在每个数值最后一次出现的位置记为\(1\)。这样版本\(r\)中\([l, r]\)的区间和即为答案。
3. H3-3 的直观意义：这个结论告诉我们，指数为最小素因子的子群具有非常强的对称性趋向（往往是正规的）。

H10. 数论求和 (GCD Counting)

• 问题：计算\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n [\gcd(i, j) = k]\)，其中\(n \leq 10^{10}\)。
• 推导过程：
  1. 令\(m = \lfloor n/k \rfloor\)。
  2. 原式等价于求\(Ans = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^m [\gcd(i, j) = 1]\)。
  3. 利用对称性，考虑\(i < j, i > j\)和\(i = j\)三种情况：
     \[Ans = 2 \sum_{1 \leq i < j \leq m} [\gcd(i, j) = 1] + 1 \]
  4. 由欧拉函数\(\phi\)的定义，在\(j\)固定时，满足\(\gcd(i, j)=1\)的\(i < j\)的个数为\(\phi(j)\)：
     \[Ans = 2 \sum_{j=2}^m \phi(j) + 1 = 2 \sum_{j=1}^m \phi(j) - 1 \]
• 难点：由于\(n \leq 10^{10}\)，\(m\)仍然很大，计算前缀和需要杜教筛 (Du's Sieve) 或 Min_25 筛。

H11. 树上路径第\(k\)小 (K-th Smallest on Tree Path)

• 问题：给定一棵\(n\)个节点的树，\(m\)次询问\(u, v\)间路径上的第\(k\)小权值 (\(n, m \leq 10^5\))。
• 核心解法：主席树 + LCA。
  • 建树：每个节点维护从根节点到当前节点路径上权值的可持久化线段树。
  • 差分思想：路径\(u \to v\)的权值分布可以通过四个版本的线段树进行叠加/消减得到：
    \[\text{Target} = \text{Tree}(u) + \text{Tree}(v) - \text{Tree}(\text{LCA}(u, v)) - \text{Tree}(\text{parent}(\text{LCA}(u, v))) \]
  • 查询：在上述复合结构上同步进行二分查找。

H12. 子群格与向量空间 (Subgroup Lattice)

问题背景：给定素数\(p\)和整数\(n\)，考虑群\(G = \mathbb{Z}_p^n\)（初等阿贝尔群）。

1. 证明\(G\)的子群个数等于\(\mathbb{F}_p\)上向量空间的子空间个数。

• 证明思路：
  • \(G = \underbrace{\mathbb{Z}_p \times \dots \times \mathbb{Z}_p}_{n}\)。
  • 由于\(\mathbb{Z}_p\)中除单位元外所有元素阶均为\(p\)。
  • 在\(G\)上定义标量乘法：对于\(a \in \mathbb{F}_p, v \in G\)，\(av\)即\(a\)个\(v\)相加。
  • 此时，子群等价于加法封闭且有限，进而等价于\(\mathbb{F}_p\)域上的线性子空间。

2. 计算\(G\)的\(k\)维子群个数。

• 计数原理：\(k\)维子空间个数 = (\(k\)个线性无关向量的取法) / (同一子空间内\(k\)维基的取法)。
• 计算公式（高斯二项式系数）：
  \[\binom{n}{k}_p = \prod_{i=0}^{k-1} \frac{p^n - p^i}{p^k - p^i} \]

3. 举例：\(n=3, p=2\)（即\(\mathbb{Z}_2^3\)，元素为\((x, y, z) \pmod 2\)，共 8 个）

1. 0 维：1 个，即\(\{(0, 0, 0)\}\)。
2. 1 维：7 个（非零向量个数 / 1 维基个数），\(\frac{2^3-1}{2^1-1} = 7\)。
   • 例如：\(\langle(0,0,1)\rangle, \langle(1,1,1)\rangle\)等。
3. 2 维：7 个，\(\binom{3}{2}_2 = \frac{(2^3-1)(2^3-2)}{(2^2-1)(2^2-2)} = \frac{7 \times 6}{3 \times 2} = 7\)。
4. 3 维：1 个，即\(G\)自身。

补充 (Lecturer's Supplements)

1. 关于 H10 的超范围内容：

   • 如果需要计算\(10^{10}\)级别的欧拉函数前缀和，通常构造狄利克雷卷积\(\phi * 1 = I\)（即\(\sum_{d|n} \phi(d) = n\)）。利用杜教筛公式：
     \[g(1)S(n) = \sum_{i=1}^n (f*g)(i) - \sum_{i=2}^n g(i)S(\lfloor n/i \rfloor) \]
     这里\(f = \phi, g = 1\)，则\((f*g)(i) = i\)，公式变为\(S(n) = \frac{n(n+1)}{2} - \sum_{i=2}^n S(\lfloor n/i \rfloor)\)。

2. 关于 H12 的对偶性：

   • 你会发现\(n=3\)时，1 维子空间个数和 2 维子空间个数相等（都是 7）。这是因为\(\mathbb{F}_p\)上的向量空间具有对偶性：\(k\)维子空间与\(n-k\)维子空间一一对应。

3. H12-2 公式的简化直观图示：

   • 第一个向量\(v_1\)有\(p^n - 1\)种选法；
   • 第二个向量\(v_2\)需不在\(\text{span}(v_1)\)中，有\(p^n - p\)种选法；
   • 依此类推，分母则是为了排除同一组基构成的相同子空间。

E1. (CF1093E) 两个排列的交集

• 问题：给定两个排列\(a_n, b_n\)，进行\(m\)次操作：
  1. 查询\(a[l_a \dots r_a]\)和\(b[l_b \dots r_b]\)的交集大小。
  2. 交换\(b\)中的两个元素。
• 转化：由于是排列，元素不重复。按元素计算，转化为二维数点问题：统计点集\((pos_a(x), pos_b(x))\)中落在矩形\([l_a, r_a] \times [l_b, r_b]\)内的点数。
• 解法：
  1. BIT 套权值线段树：支持动态更新，是在线做法。
  2. CDQ 分治（时间轴分治）：将所有操作按时间排序。处理左半部分修改对右半部分查询的影响。贡献计算方式：\(x\)轴排序，\(y\)轴用 BIT 维护。

E2. (CF1422F) 区间 LCM

• 问题：\(n\)个数，\(q\)次询问\([l, r]\)的最小公倍数 (LCM)\(\pmod{10^9+7}\)。
• 核心思路：\(\text{LCM} = \prod p_i^{\max(e_i)}\)。需动态维护每个区间内质因子幂次的最大值乘积。
• 算法：仿照DQUERY的思路。按右端点排序，动态更新每个质数幂次\(p^k\)的“最后贡献位置”。
  • 如图所示，对于\(p, p^2, p^3 \dots\)，分别维护它们最后出现的位置。
  • 利用可持久化线段树（时间轴线段树）来强制在线查询。

E3. 动态区间第\(k\)小

• 解法：BIT 套权值线段树。经典树套树题目，不再赘述。

E4. 群的自同构群 (Automorphism Group)

设\(G = \mathbb{Z}_n\)。\(Aut(G)\)是指\(G\)上所有自同构\(\psi\)在复合运算下构成的群。

1. 证明：\(Aut(G) \cong \mathbb{Z}_n^*\)。
   • 证：在\(\mathbb{Z}_n\)中，\(\psi(x) = x \cdot \psi(1)\)。要使\(\psi\)是同构，\(\psi(1)\)必须是生成元，即\(\psi(1) \in \mathbb{Z}_n^*\)（与\(n\)互素）。映射\(\psi \mapsto \psi(1)\)是一个群同构。
2. 实例：\(Aut(\mathbb{Z}_{12})\)的元素。
   • \(\mathbb{Z}_{12}^* = \{1, 5, 7, 11\}\)。
   • 自同构映射为：\(x \mapsto x, x \mapsto 5x, x \mapsto 7x, x \mapsto 11x\)。共 4 个。
3. 计算：\(Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)\)。
   • 这等价于\(\mathbb{Z}_2\)域上\(2 \times 2\)向量空间的线性变换数（即\(GL(2, \mathbb{F}_2)\)）。
   • 第一个基向量\((1,0)\)有\(2^2-1=3\)种选法；
   • 第二个基向量\((0,1)\)需线性无关，有\(2^2-2^1=2\)种选法。
   • 结果：共\(3 \times 2 = 6\)种。

E5. (CF1149C) Tree Generator™

• 问题：用括号序列表示一棵树，进行\(q\)次操作，每次交换两个括号，求树的直径。
• 转化：
  • 括号序列中，每个节点的深度\(dep = (\text{左侧 '(', ')' 个数差值})\)。
  • 直径公式：在括号序列对应的深度序列上，直径等于：
    \[\max_{i < j} \{ dep_i + dep_j - 2 \cdot \min_{k \in [i, j]} dep_k \} \]
• 线段树维护：
  • 令\(a = dep_i, b = dep_k, c = dep_j\)。我们需要维护\(a+c-2b\)的最大值，其中\(i \le k \le j\)。
  • 每个节点需维护以下五项：
    1. \(A_{max}, B_{min}, C_{max}\)
    2. \(a-2b\)的最大值
    3. \(c-2b\)的最大值
    4. \(a+c-2b\)的最大值
  • 通过合并子节点信息实现动态更新。

补充 (Lecturer's Supplements)

1. 关于 E1 (CDQ)：CDQ 分治虽然不能在线，但其空间复杂度仅为\(O(n)\)，在处理大数据量时比树套树更稳健。
2. 关于 E4 (自同构群)：\(Aut(\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2)\)其实同构于\(S_3\)。这是一个非常有趣的结论，因为\(\mathbb{Z}_2^2\)的非零元素可以看作三角形的顶点。
3. 关于 E5 的技巧：这种将树上距离转化为括号序列/欧拉序上的区间最值问题（RMQ）是处理动态树直径的最强武器。