换根 DP 简介

​【换根 DP 简介】
● 换根 DP 是树形 DP 的一种重要技术，用于解决需要以树中‌不同节点为根‌分别计算答案的问题。其核心思想是在一次动态规划后，通过‌推导出换根时的状态转移公式‌，高效地计算出所有节点作为根时的结果，避免对每个根节点都进行一次 O(n) 的树形DP（那样总复杂度为 O(n²)）。

● 对于大多数简单的树形 DP 问题，如计算子树大小、节点深度、简单路径统计等，算法通常对每个节点执行常数次操作，因此时间复杂度为 ‌O(n)‌。

● 换根 DP 通常遵循一个固定的两遍 DFS 流程：
（一）第一次 DFS（固定根，收集信息）‌
（1）任选一个节点（通常为 1 号节点）作为初始根。
（2）进行一次自底向上的树形 DP，计算以该节点为根时，各子树的状态信息。这些信息通常包括：子树大小（siz[u]）、子树内节点到根的距离和（dis[u]）、或其他与问题相关的子树最优解。
（二）第二次 DFS（换根，推导全局）‌
（1）这是算法的关键。基于第一次 DFS 得到的信息，从初始根节点开始，进行第二次 DFS。
（2）在遍历过程中，当从父节点 u 走向子节点 v 时，利用已知的以 u 为根时的全局答案 dp[u]，推导出以 v 为根时的全局答案 dp[v]。
（3）这个推导过程就是 ‌“换根公式”‌，它分析了当根从 u 移到 v 时，哪些节点的贡献发生了变化（例如，深度增加或减少），并据此更新答案。

● 经典示例：所有节点到其他节点距离之和
代码详见：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/157169859
这是一个最经典的换根DP问题，清晰地展示了换根公式的推导过程。
（1）问题‌：给一棵树，求以每个节点为根时，所有节点到该根节点的深度之和。
（2）定义‌：siz[u]：以 u 为根的子树中的节点数、dis[u]：以 u 为根时，所有节点到 u 的深度之和。

（3）步骤‌：
第一次 DFS‌：以节点 1 为根，计算 siz[u] 和初始的 dis[1]。
换根公式推导‌：当根从 u 换到其子节点 v 时，所有在 v 子树中的节点，到新根 v 的距离比到旧根 u 的距离‌减少1‌。这部分贡献总共减少 siz[v]。所有不在 v 子树中的节点（共 n - siz[v] 个），到新根 v 的距离比到旧根 u 的距离‌增加1‌。这部分贡献总共增加 n - siz[v]。
因此，dis[v] = dis[u] - siz[v] + (n - siz[v]) = dis[u] + n - 2 * siz[v]。
第二次 DFS‌：应用此公式，即可从 dp[1] 递推计算出所有节点的 dis[i]。

● 换根 DP 问题的数据量通常会超过 10^5，所以常需在代码中使用如下语句（https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/143176072），避免 TLE。

ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);
cout.tie(0);

当然，也可以使用“快读（https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/120131534）”函数，代码如下。

int read() { //fast readint x=0,f=1;char c=getchar();while(c<'0' || c>'9') { //!isdigit(c)if(c=='-') f=-1;c=getchar();}while(c>='0' && c<='9') { //isdigit(c)x=x*10+c-'0';c=getchar();}return x*f;
}

【换根 DP 的经典问题】
洛谷 P3478：STA-Station：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/157169859
洛谷 P10962：Computer：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/157177019
洛谷 P6419：Kamp：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/157134513

 

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