小红删数字

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题目描述

给定一个长度为n nn的整数数组a 1 , a 2 , … , a n a_1,a_2,…,a_na1​,a2​,…,an​。需要进行恰好n − 1 n−1n−1次操作，数组最终只剩下一个数字。

每次操作只能针对当前数组的最后两个数x , y x,yx,y（x xx在前，y yy在后）执行下述二选一：

• 将x , y x,yx,y删除，并将( x + y ) m o d 10 (x+y) mod\ 10(x+y)mod10插入到数组末尾；
• 将x , y x,yx,y删除，并将( x × y ) m o d 10 (x×y) mod\ 10(x×y)mod10插入到数组末尾。

请统计，在所有可能的操作序列下，最终结果为0 , 1 , … , 9 0,1,…,90,1,…,9的方案数各有多少。答案对10 9 + 7 10^9+7109+7取模。

输入描述：

第一行输入整数n ( 1 ≦ n ≦ 200 000 ) n (1≦n≦200 000)n(1≦n≦200 000)——数组长度。

第二行输入n nn个整数a 1 , … , a n ( 1 ≦ a i ≦ 10 9 ) a_1,…,a_n (1≦a_i≦10^9)a1​,…,an​(1≦ai​≦109)——初始数组。

输出描述：

输出一行10 1010个整数，第i ii个数表示最终结果为i ii的方案数（按m o d 10 9 + 7 \mod\ 10^9+7mod109+7）。

示例1

输入：

4 1 2 3 4

输出：

1 0 0 0 3 3 0 0 0 1

解题思路

本题采用动态规划结合状态压缩求解，核心是利用模运算特性（加减乘模10 1010仅与数字个位相关），先将数组所有元素取模10 1010简化计算；初始化d p dpdp数组（d p [ j ] dp[j]dp[j]表示当前得到结果j的方案数），若n = 1 n=1n=1则直接标记对应数字的方案数为1 11，否则先将d p [ a [ n − 1 ] ] dp[a[n-1]]dp[a[n−1]]设为1 11（初始仅最后一个元素）；逆序遍历数组前n − 1 n-1n−1个元素，每次新建临时数组q qq，遍历0 − 9 0-90−9的状态，若d p [ j ] dp[j]dp[j]有方案数，分别计算当前元素与j jj的加、乘模10 1010结果r rr，将d p [ j ] dp[j]dp[j]累加到q [ r ] q[r]q[r]（两种操作对应两种方案），更新d p dpdp为q qq；最终d p dpdp数组即为0 − 9 0-90−9的方案数，答案对1 e 9 + 7 1e9+71e9+7取模。该方法时间复杂度O ( n × 10 ) O(n×10)O(n×10)，状态数固定为10 1010，完美适配n ≤ 2 × 10 5 n≤2×10^5n≤2×105的规模，高效统计所有操作序列的结果分布。

代码内容

#include<bits/stdc++.h>usingnamespacestd;typedeflonglongll;typedefunsignedlonglongull;typedefpair<ll,ll>pii;constll p=1e9+7;constll N=1e5+10;intmain(){ll n;cin>>n;vector<ll>dp(10,0);if(n==1){ll x;cin>>x;if(x<10)dp[x]=1;}else{vector<ll>a(n);for(ll i=0;i<n;++i){cin>>a[i];a[i]%=10;}dp[a[n-1]]=1;for(ll i=n-2;i>=0;--i){vector<ll>q(10,0);for(ll j=0;j<10;++j){if(!dp[j])continue;ll r=(a[i]+j)%10;q[r]=(q[r]+dp[j])%p;r=(a[i]*j)%10;q[r]=(q[r]+dp[j])%p;}dp=move(q);}}for(ll e:dp)cout<<e<<' ';return0;}